Loi de Student

usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´eom´etrique H(N, n, p) . . . . . 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ) . . . 1.5.2 La loi du Khi-deux `a n degr´es de libert´e (χ2n ) 1.5.3 La loi de Student `a n degr´es de libert´e (Tn ) . 1.5.4 La loi de Fischer-Snedecor (F(n1 , n2 )) . . . . . .

. . . . . . 3 Lois usuelles pour le mod` ele lin´ eaire 3.1 Loi gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Vecteurs al´eatoires gaussiens et densit´es . 3.4 Invariance par transformation orthogonale 3.5 Loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 La loi du χ2 ` a k degr´es de libert´e . . . . 3.7 La loi de Student . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Loi de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

RAPPEL DES PRINCIPALES LOIS DE DISTRIBUTIONS DE PROBABILITES 1. Loi Binomiale B(n,p) Il s’agit en fait de la somme de n variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi , de même paramètre p.  avec   Somme de lois binomiales. Soient deux variables aléatoires indépendantes: qui suit , et qui suit . La V.A. définie par suit une loi . 2. Loi de Poisson P() On appelle variable aléatoire de Poisson une variable aléatoire discrète X pouvant prendre

(Fischer & student test) : P=5% 3-1 Test global de Fischer snedecor . F calculé= (SCE/1)/(SCR/n-2) 3-2Test marginal de Student : T calculé= │a│/ бa > t table L'objectif de ces tests est de confirmer la fiabilité de ces modèles . 4- Précisions sur les lois : 4-1Loi normale : F(x)=[1/(∑√ 2π)] e -1/2*(x-m/E)² π=3.1415 e=2.71828 m : espérance E: écart type 4-2 Loi normale centrée réduite : F(t)= [1/(√ 2π)] e -t²/2 4-3 Loi de CHI-DEUX X²n = T²1+T²2+…+T²n Avec T N(0,1) T² N(0,1)² X²n est une loi de CHI

Les relevés laissés par les colons espagnols de l'époque ont permis d’établir que l’espérance de X, notée m, était de 3 dm seulement Que peut-on dire de la probabilité p= P(|X-m|>1) dans les cas suivants : a) X suit une loi de Poisson b) X suit une loi exponentielle c) X suit une loi inconnue d’écart-type σ = 0,5 IV - Dans les déserts de l'Ouest californien, les plantes comestibles et le gibier étaient extrêmement rares et une famille épuisait la nourriture à plusieurs milles à l'entour de son campement

Loi de Fisher En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continue[1],[2],[3]. Elle tire son nom des statisticiens Ronald Aylmer Fisher et George Snedecor. La loi de Fisher survient très fréquemment en tant que distribution de l'hypothèse nulle dans des tests statistiques, comme les tests du ratio de vraisemblance, dans les test de Chow utilisés en économétrie, ou encore dans l'analyse de

DES PRINCIPALES LOIS DE DISTRIBUTIONS DE PROBABILITES 1 Loi Binomiale B(n,p) Il s’agit en fait de la somme de n variables aléatoires indépendantes [pic] qui suivent une loi [pic], de même paramètre p. ❑ [pic] avec [pic] ❑ [pic] ❑ [pic] Somme de lois binomiales. Soient deux variables aléatoires indépendantes: [pic] qui suit [pic], et [pic] qui suit [pic]. La V.A. définie par [pic] suit une loi [pic]. 2 Loi de Poisson P(() On appelle variable aléatoire de Poisson une

population-mère EST normale OU NON Dans ce cas : 1. la distribution dec suit une loi normale (par application du Théorème Central Limite si la distribution de la population-mère n’est pas normale) 2. la moyenne de la DE de X est : E X   ET : Option 1 :  est connu dans la population   3. la variance de la DE est : V X  4. l’écart réduit Z    ² n et l’écart-type :  X     n X   suit une loi normale centrée réduite n Option 2 :  est inconnu dans la population

général de 5% (), cfr calcul des intervalles de confiance). P-valeur (p-value) = P(tobs>=T ou plus extrême|H0)30 ou n=100, 200 ou 300, on va s’assurer qu’on est proche de la normalité (c-à-d que l’échantillon suit une loi normale). Ex : pour les porcs X (prise de poids) suit une loi normale dans l’échantillon, si elle ne l’était pas, ça n’irait pas. Application du test T à une moyenne : 1) On écrit l’hypothèse nulle et l’hypothèse alternative H0 : µ=u0 H1 : µu0 2) La statistique de test :

©Université René Descartes 1/3 TABLE DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE Lecture de la table: Pour z=1.24 (intersection de la ligne 1.2 et de la colonne 0.04), on a la proportion P(Z < 1,24) = 0.8925 P(Z > 1,96) = 0,025 P(Z > 2,58) = 0,005 P(Z > 3,29) = 0,0005 Rappels: 1/ P(Z > z) = 1 - P(Z < z) et 2/ P(Z < -z) = P(Z > z) Exemple: Sachant P(Z < 1,24) = 0,8925, on en déduit: 1/ (P(Z > 1,24) = 1 - P(Z < 1,24) = 1- 0,8925 = 0,1075 2/ P(Z < -1,24) = P(Z > 1,24) = 0,1075 z 0,0 0,1 0,2 0,3