Loi de Student

, et éventuellement de loi normale. Lorsqu’on n’a pas accès à l’ensemble de la population, on procède à un échantillonnage, i.e. au choix de n individus dans la population, sur lesquels on observe la valeur x du caractère X. On aura ainsi un échantillon X 1 , X 2 , . . . , X n est un échantillon de taille n de X ; pour tout i 1, . . . , n, la variable aléatoire X i correspond aux valeurs du caractère du i-ème individu obtenu par échantillonage, et aura donc la même loi de probabilité que X.

Lois normales et autres lois dérivées 1 - Lois normales a) - Définition et , notée N ( ; ), On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres 1 t– si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) = Si = 0 et – 1 e 2 2 2 . = 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite. Remarque Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce

de données des variables explicatives et de la variable expliquée puis lancé l’estimation sur Gretl. On obtient les résultats suivants : Modèle 1: MCO, utilisant les observations 1-58 Variable dépendante: Salaire Coefficient Erreur Std t de Student p. critique const −404143 4,67131e+06 -0,0865 0,93138 Points 391264 189545 2,0642 0,04391 ** Passes 184548 202565 0,9111 0,36639 ReussiteTir −95352,3 105929 -0,9001 0,37211 Efficacité 447972 201693 2,2211 0,03064 ** Moy. var. dép. 9180109

apparitions Ex. : panne d’un système informatique Exponentielle : continue Attendre une apparition Ex. : durée avant une panne Normale : continue Observer le résultat d’un hasard complexe Ex. : valeur du TSX Loi binomiale Expérience 4 propriétés 1- une série de n tirage identique 2- 2 événements possibles, succès ou échec 3- probabilité Succès P, Éches 1-P 4- tirages indépendants Notation X~B(n,p) Formule : P(X=x) = (nx)px (1-p)n-x Espérance : E(x)

différent de 40 alors le test est unilatéral) On appelle X la variable d’échantillonnage des moyennes des échantillons de taille 10 On considère une variable aléatoire T telle que T= X – 11 La loi de probabilité de T est la loi de Student à t-n-1 degré de liberté. S T Distribution de T Vn-1 Détermination des valeurs critiques valeur de T : P (T>=t) = 0,05 1-P (T<t) = 0,05 -P (T<t) = 0,05-1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 50 50 51 53 54 55 55 i ii Table des matières 3.4 3.5 3.6 3.7 3.3.2 Tests entre modèles emboîtés . . . . . . . . . . . 3.3.3 Test de Student de signification d’un coefficient . 3.3.4 Test de Fisher global . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Lien avec le Rapport de Vraisemblance Maximale Estimation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple . . . . . . . . . . . . . . .

distribution statistique : les modèles continues I. La loi normale Laplace-Gauss A. Définition de la loi normale B. Loi normale réduite centrée C. Détermination pratique des probabilités : Usage des tables statistiques D. Conditions d’application 1. Variable aléatoire normale 2. Théorème central limite Loi du Khi² A. Définition B. Tables statistiques C. Somme du Khi² indépendantes Loi de Student A. Définition B. Densité de probabilité de la loi de Student Loi de Fisher-Snedecor A. Définition B. Tables statistiques

discr`etes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´eom´etrique H(N, n, p) . . . . . 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ) . . . 1.5.2 La loi du Khi-deux `a n degr´es de libert´e (χ2n ) 1.5.3 La loi de Student `a n degr´es de libert´e (Tn ) . 1.5.4 La loi de Fischer-Snedecor (F(n1 , n2 )) . . . . . . . . .

Rappels sur les intervalles de confianceQuelques rappels sur les intervalles de confiance I/ Généralités Soient : X une variable aléatoire de loi paramétrée par θ et X 1 ,...,X n n variables i.i.d selon la loi de X. 1) Principe d’un intervalle de confiance Plutôt que d’estimer ponctuellement la vraie valeur inconnue du paramètre θ , on recherche un intervalle recouvrant «très vraisemblablement » cette vraie valeur. Définition : On appelle intervalle de confiance de niveau de confiance 1− α du paramètre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 50 50 51 53 54 55 55 i ii Table des matières 3.4 3.5 3.6 3.7 3.3.2 Tests entre modèles emboîtés . . . . . . . . . . . 3.3.3 Test de Student de signification d’un coefficient . 3.3.4 Test de Fisher global . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Lien avec le Rapport de Vraisemblance Maximale Estimation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple . . . . . . . . . . . . . .