Loi normale multidimensionnelle

donn´es X = {x t }N o` x t ∼ p(x) e t=1 u Variable ind´pendante et identiquement distribu´e (iid) e e Estimation param´trique e Famille de densit´s de probabilit´ p(x|θ) e e Estimation θ : les statistiques suffisantes de la densit´ e Avec une loi normale N (µ, σ 2 ), θ = {µ, σ} Estimation de θ ` partir de X a GIF-4101 / GIF-7005 (U. Laval) M´thodes param´triques e e C. Gagn´ e 2 / 32 Vraisemblance d’une estimation Vraisemblance d’une estimation param´tr´e par θ e e N l(θ)

limites Echantillonnage 1 Lois Limites 1.1 Exemple On considère X1, . . . , Xn ,n variables aléatoires indépendantes et de même loi, de moyenne m et d'écart type s. Soit alors = m et = s 1.2 Deux théorèmes fondamentaux Th 1 : Loi faible des grands nombres Soient X1; X2 ; . . . Xn n variables aléatoires indépendantes et de même loi de moyenne m alors la variable aléatoire vérifie pour tout réel positif e : Signification: Lorsque n devient très grand, le nombre

entreprise vend 2 types de meubles : M1, M2 respectivement 419 euros et 509 euros l’unité. La demande mensuelle en meubles M1 est : une variable aléatoire X qui suit la loi normale n (85 ; 15). La demande mensuelle en meubles M2 est : une variable aléatoire Y qui suit la loi normale n (52 ; 8). On suppose que X et Y sont indépendantes. Partie A Dans cette question, on suppose que le stock est suffisant pour satisfaire la demande. Ainsi, l’entreprise

-1,6079 | 1,4479 | -,118 | 9 | ,908 | Réponse : le Sig = 0,908 il est donc supérieur à 0,05 on accepte donc H0 et le fait que m1=m2 avant et après traitement. 3) Test de Kolmogorov-Smirnov Hypothèses  H0 : X suit une loi Normale H1 : X ne suit pas une loi Normale Test de Kolmogorov-Smirnov à un échantillon | | salaire en euro | N | 15 | Paramètres normauxa,b | Moyenne | 1359,67 | | Ecart-type | 71,576 | Différences les plus extrêmes | Absolue | ,177 | | Positive |

(iid) et suivent une loi normal d’espérance nulle est de variance constanteσ2). 1.1 Test d’hypothèse BB gaussien : Maintenant on est amené à tester l’hypothèse du bruit blanc gaussien sur la série rendement : * L’hypothèse de Normalité (Queues de distribution épaisses) L’hypothèse de normalité des rendements est généralement rejetée. Les queues des distributions empiriques des rendements sont généralement plus épaisses que celles d’une loi gaussienne. On parle

• Mesures de la tendance centrale (moyenne, mediane, mode) • Indices de dispersion (etendue, variance, ecart-type) • Boite à moustaches • Forme (indice d’symétrie ) • Distribution normale (symétrique) Mesures de la tendance centrale : • La tendance centrale est une mesure qui indique où se trouve la majeure partie des données ou scores d’une distributions. Mesure qui représente le score typique d’une distribution. C’est la valeur

sur les lois : 4-1Loi normale : F(x)=[1/(∑√ 2π)] e -1/2*(x-m/E)² π=3.1415 e=2.71828 m : espérance E: écart type 4-2 Loi normale centrée réduite : F(t)= [1/(√ 2π)] e -t²/2 4-3 Loi de CHI-DEUX X²n = T²1+T²2+…+T²n Avec T N(0,1) T² N(0,1)² X²n est une loi de CHI DEUX a n degré de liberté U2 : X²1 = N² (0,1) 4-4 Loi de Fischer On fait le rapport (X²n1/n1)/( X²n2/n2) = (n2 *X²n1)/(n1* X²n2 ) = f(n1;n2) Pr. A.Amine 6 Statistique approfondie f(n1;n2) est une loi de Fischer snedecor à

l’option européenne apparaît au tableau 2. 1 Il serait préférable de supposer que le terme d’erreur obéit à une distribution chi-carrée décentrée. Mais de nombreux auteurs, tels Clewlow et Strickland (1998) et Schoutens (2003), recourent à la loi normale pour simuler le processus stochastique dit «racine carrée» auquel obtempère ici la volatilité stochastique. 5 ____________________________________________________________ _________________ Tableau 2 Programme Visual Basic du calcul

exercice 1 2 Exercice 2 (10 points) Partie A. X − 14 suit 0, 1 une loi normale centr´e r´duite et p(X ∈ [13, 7; 14, 2]) = p(T ∈ [−3; 2]) = e e Π(2) − Π(−3) = Π(2) + Π(3) − 1 0, 98 Comme X suit une loi normale de param`tres 14 et 0,1, T = e Partie B. 1. Il s’agit de reproduire 100 fois une exp´rience al´atoire ` deux issues : e e a « non-conforme »(p = 0, 024) ou « conforme »(p = 0, 976). Y suit donc une loi binomiale de param`tres 100 et 0,024. e 3) = 1 − p(Y < 3) = 1 − p(Y = 0) − p(Y

un phénomène complexe, et permettant à partir des données un véritable raisonnement. Ainsi un réseau bayésien statique est un graphe acyclique orienté dont les nœuds sont des variables aléatoires qui ont des valeurs discrètes, ou continues selon une loi Gaussienne. Il est constitué de deux composantes : – une structure qui est un graphe causal, G orienté, acyclique, dont les nœuds sont des variables d’intérêt du domaine, les arcs des relations de dépendance entre ces variables. L’ensemble des nœuds