Majorant

de xn dans le d´eveloppement en s´erie enti`ere du produit h(x)h(x) = 1 + x. Donc c0 = c1 = 1 et cn = 0 pour n ≥ 2. m01mp1ca.tex - page 4 IV-2 a. Soit P ∈ E et n un majorant de son degr´e. n p Alors D (P ) = 0 pour p > n donc T (P ) = p=0 bp p D P qui est bien un polynˆ ome. λp Etant clairement lin´eaire (prendre n pour majorant commun du degr´e de P et de Q), T est un endomorphisme de E qui d’apr`es le calcul pr´ec´edent laisse stable les sous espaces E n. b. En notant Tn l’endomorphisme induit

cette question et la suivante, on se limite aux valeurs de x du segment [α, π]. n a) On pose sn (x) = k=1 sin(kx). sin nx sin 2 (n + 1)x 2 est une constante que l’on précisera. Montrer que la différence : sn (x) − x sin 2 En déduire un majorant de |sn (x)| indépendant de n et de x ∈ [α, π]. n b) Montrer que, pour n ≥ 2, k=1 sin(kx) = k n−1 k=1 sn (x) sk (x) + . k(k + 1) n sk (x) , k ≥ 1, sur le segment [α, π]. k(k + 1) c) Justifier la convergence uniforme de la série

Salma se rappelle une propriété du cours ; "- Mais n’y a-t-il pas une propriété dans le cours du respectable monsieur Delyon affirmant que si une suite est majorée par un nombre M et converge vers L, alors nécessairement la limite L est inférieure au majorant M ?" Sur ce, Badis intervient : "- Mais oui, c’est tout à fait exact et pertinent ma chère Salma. Encore une fois, tu sembles avoir brillé par la finesse de ta remarque !" Manel Rajoute : "- D’ailleurs, il me semble que notre vénérable professeur

n’est pas a entier naturel et donc α + 1 = 1. Comme il y a convergence de (an ) pour α + 1 < 1 et divergence si α + 1 > 1, il y a donc convergence si et seulement si α > 0. (c) On a ∀x ∈ [−1, 1], |an xn | ≤ |an | On est dans le cas (α > 0) o` le majorant est le terme g´n´ral d’une s´rie convergente. Ainsi, u e e e (an xn ) converge normalement sur [−1, 1]. Comme c’est une s´rie de fonctions continues, e la somme S est continue sur [−1, 1]. On a ainsi +∞ an = lim S(x) = lim (1 + x)α = 2α n=0

dette extérieure, paiement des dividendes aux investisseurs étrangers, opérations d’importation...). La Banque centrale établit ses prévisions et quantifie ces engagements, et fait en sorte d’avoir assez de devises disponibles à chaque échéance, en majorant bien entendu les besoins pour se garder une marge de manœuvre. En fonction de ces prévisions, les réserves sont affectées par tranches de liquidité. «On ne va par investir dans des bons du Trésor à 5 ans si on a un besoin de liquidité dans quelques

application lin´aire. e 3.1. Soit f ∈ C([a, b], R) telle que N∞ (f ) ≤ 1. En particulier, ∀i, |f (xi )| ≤ 1 et donc n ∀x ∈ [a, b], |Λ(f )(x)| ≤ i=0 |f (xi )||Li (x)| ≤ |Φ(x)| ≤ N∞ (Φ) Le majorant est ind´pendant de x et un passage ` la borne sup´rieure donne N∞ (Λ(f )) ≤ e a e N∞ (Φ). Cette fois, le majorant est ind´pendant de f et en passant ` la borne sup´rieure, on e a e obtient Λ ≤ N∞ (Φ) 1 3.2. t → Φ(t) est continue et est donc born´e sur le SEGMENT [a, b] ET elle atteint ses bornes. e

capacités et compétences essentielles à leur future intégration. - Développer de qualités et talents personnels des élèves. - découvrir de nouveaux champs d’intérêts des élèves. -dessiner un sourire sur le visage des enfants. Bénéficiaires : - les majorants de l’école primaire publique El Jadida. PARTIE III : Démarche de mise en œuvre Choix de l’école : -Ecole El Jadida : Financement : 1400 Dh 500 DH : budget consacré pour les plantes 200 DH :

d’ordre total. • Toute autre relation d’ordre est dite partielle. 2.3. RELATION D’ORDRE 13 2.3.1 Eléments singuliers dans un ensemble ordonné Soient (E, ) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. Notion de majorant et de minorant . On appelle majorant de A tout élément e ∈ E tel que : ∀a ∈ A , a e On appelle minorant de A tout élément s ∈ E tel que : ∀a ∈ A , s a Elément maximal, Elément minimal . Un élément u ∈ A est dit maximal si aucun autre élément de A n’est au dessus

Définition 3.9 Soit (E, ) un ensemble ordonné, A une partie de E. – On appelle minorant de l’ensemble A, tout élément m ∈ E tel que ∀ x ∈ A, m x – On appelle majorant de l’ensemble A, tout élément M ∈ E tel que ∀ x ∈ A, – – – – – x M Le plus grand des minorants, s’il existe, est appelé Borne inférieure de A et noté inf A. Le plus petit des majorants, s’il existe, est appelé Borne supérieure de A et noté sup A. Si A possède un minorant, on dit que A est Minoré, Si A possède un majorrant, on dit que A

Définition 3.9 Soit (E, ) un ensemble ordonné, A une partie de E. – On appelle minorant de l’ensemble A, tout élément m ∈ E tel que ∀ x ∈ A, m x – On appelle majorant de l’ensemble A, tout élément M ∈ E tel que ∀ x ∈ A, – – – – – x M Le plus grand des minorants, s’il existe, est appelé Borne inférieure de A et noté inf A. Le plus petit des majorants, s’il existe, est appelé Borne supérieure de A et noté sup A. Si A possède un minorant, on dit que A est Minoré, Si A possède un majorrant, on dit que A