Marche aléatoire

CHAPITRE 4 – CONDITIONNEMENT Variables aléatoires discrètes - Probabilité conditionnelle – Arbre pondéré et calculs de probabilités . I – Variables aléatoires discrètes 1. Loi de probabilité d’une variable aléatoire : Définition : Ω est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire sur E, c’est associer un réel à chaque issue. Exemple : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.  On gagne 5€ chaque fois que l’on obtient Pile  On

∩R3 )=0,967 . 2. Si un ordinateur qui est vendu sans extension de garantie tombe en panne, le coût moyen de réparation est de : 150 € si la panne a lieu la deuxième année ; 200 € si la panne a lieu la troisième année. On note X la variable aléatoire qui, à chaque ordinateur vendu sans extension de garantie , associe le coût moyen de réparation (en €) pour l'acheteur au cours des trois premières années. a) Quelles sont les quatre valeurs prises par la variable X ? b) Justifier que p(X=150)=0

EXERCICES CORRIGÉS SUR LES PROBABILITÉS DISCRÈTES Exercice 1 Variables aléatoires et arbres Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir la vente de ces tablette, il décide d’offrir des places de cinéma dans la moitié des tablettes mises en vente. Parmi les tablettes gagnantes, 60% permettent de gagner exactement une place de cinéma et 40% exactement deux places de cinéma. On note PB(A) la probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé

choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10−3

d’un système de communication ENSI 2013 Transmission numérique, Introduction 4 Chapitre 1 Processus aléatoire Plan  Processus aléatoire  Processus stationnaire  Fonctions de corrélation et de covariance  Processus ergodique  Densité spectrale de puissance  Processus Gaussian  Bruit ENSI 2013 Processus aléatoire 6 Introduction  Dans le domaine de l’ingénierie il est notoire d’utiliser les modèles mathématiques pour

variable 1 aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres p = et n = 20. 3 b. On a donc : p(X = 5) = 20 1 × 3 5 5 × 1− 1 3 20−5 = 15504 × 215 ≈ 0,1457. 320 A. P. M. E. P. Baccalauréat S c. La moyenne pour les 20 personnes d’aller au 2e étage est égale à l’espérance mathématique de la variable aléatoire X , soit : E(X ) = n × p = 1 20 20 × = ≈ 7. 3 3 Un peu moins de 7 personnes sur 20 vont au 2e étage. 1 4. On reprend la variable aléatoire suivant la

Loi binomiale : révisions Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues contraires : l’une appelée SUCCES (de probabilité p) est notée S, l’autre appelée ECHEC (de probabilité q = 1 − p) est notée S . Exemple : Une urne contient 10 boules : 7 bleues et 3 rouges, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on considère comme SUCCES le fait de tirer une boule rouge. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli avec pour succès S : « Tirer une boule

assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 25 ponceuses . On considère la variable aléatoire X qui , à tout prélèvement ainsi défini , associe le nombre de ponceuses défectueuses de ce prélèvement . Partie A : Dans cette partie , les résultats approchés sont à arrondir à 10 – 2 . 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres . 2. Calculer la probabilité que , dans un tel prélèvement , il y ait

reChapitre VI Génération de valeurs pseudo-aléatoires D. Knuth, " The Art of Computer Programming ", Vol. 2, Chap. 3 : "Random Numbers", pp. 1-177, 1981. A. M. Law & W. D. Kelton, " Simulation Modeling & Analysis", McGraw-Hill, 1991. (Chap. 7-8). S. V. Hoover, R. F. Perry, " Simulation A problem-Solving Approach ", Addison-Wesley, 1989. (Chap. 7). Pourquoi générer des nombres « au hasard »? Théorie de l'échantillonnage Analyse numérique (approche de Monte-Carlo) Algorithmes probabilistes (Sherwood

ces jouets, l’entreprise effectue des contrôles, 0,6 % des jouets sont déclarés défectueux. On considère un lot de n jouets contrôlés et parmi ceux-ci, on appelle X n le nombre de jouets déclarés défectueux. 1/ Quelle est la loi de la variable aléatoire X n ? (On justifiera avec soin le résultat.) Donner l’expression de cette loi. 2/ Pour n 500 : TD6 : Loi de probabilité - - - Par quelle loi peut-on approcher la loi de la variable X n ? (justifier) Donner l’expression de cette loi. En