Matrice Ansoff

l’équation de la chaleur Corrigé par M.TARQI I. R ÉSULTATS PRÉLIMINAIRES 1.1 Puisque f est de classe C 2 sur l’ouvert U, alors, d’après le théorème de Schwarz on peut écrire, pour tout x ∈ U, ∂2f ∂2f (x) = (x), ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi donc Hx est une matrice symétrique, et comme elle est réelle, alors Hx est diagonalisable dans une base orthonormée de Rn . 1.2 1.2.1 f est de classe C 2 sur l’ouvert U et admet un maximum en a, donc d’après la condi∂f tion nécessaire des extremums df (a) = 0, donc (a) =

´tat d’´quilibre stable. e e 3. D´terminer la matrice de transfert du syst`me en boucle ouverte (On pourra, pour cela, utiliser e e la commande tf ). Ce syst`me est-il d´coupl´? Quel est le gain statique de ce syst`me? e e e e 4. Tracer la r´ponse indicielle du syst`me en boucle ouverte ` une entr´e d’amplitude 0.4 0.8 e e a e , pour un ´tat initial nul (Indication : on pourra utiliser la commande step en modifiant de fa¸on e c adequate la matrice B). Constater le lien existant entre le gain statique

pr´liminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5.1 D´terminant d’ une matrice . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5.2 Mineurs principaux d’ une matrice . . . . . . . . . . . 2.5.3 Matrice hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Matrice hessienne bord´e . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5.5 Matrices d´finie positive et semi d´finie positive . . . . e e 2.5.6 Matrices d´finie n´gative et semi d´finie n´gative . . . e e e e 2.5.7 Carat´risation . . . .

jouer le rôle de la dérivée : Rappel : On appelle la matrice jacobienne de la matrice à p lignes et n colonnes : La première colonne contient les dérivées partielles des coordonnées de par rapport à la première variable , la deuxième colonne contient les dérivées partielles des coordonnées de par rapport à la deuxième variable et ainsi de suite. Théorème : Soit D. Soit une bijection de classe la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne de Exemple : Calculer au domaine . Alors

{x ∈ Rn : x ≤ 0}. – Rn++ := {x ∈ Rn : x 0}. – x ∈ Rn et x ∈ Rn , x · x d´enote le produit scalaire de x et x. – A matrice r´eelle `a m lignes et n colonnes et B matrice r´eelle `a n lignes et colonnes, AB d´enote le produit matriciel de A et B. – Un vecteur x ∈ Rn est trait´e comme une matrice ligne. – xT d´enote le vecteur transpos´e de x ∈ Rn , xT est trait´e comme une matrice colonne. – Soient f une fonction de Rn dans R et x = (x1 , . . . , xh , . . . , xn ) ∈ Rn . Pour tout h = 1, . . . ,

initial, de dimension n.p, FJ/I le tableau des profils en ligne (fréquences conditionnelles, conditionnées par les items en ligne) et FI/J celui des profils en colonne. DI désigne la matrice diagonale portant sur sa diagonale les totaux en ligne (ou totaux marginaux) et DJ celle des totaux en colonne. Les différentes matrices précédentes sont naturellement liées: F j / i = DI−1 K et Fi / j = KDJ−1 Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dans Rp pour la métrique du chi-deux est donné par le produit

Un rappel sur les matrices Patrice Wira Université de Haute-Alsace Faculté des Sciences et Techniques 2000 - 2001 Sommaire Calculs matriciels (matrix algebra) ........................................................................................ 1 1. 2. Représentation matricielle et notations................................................................................................. 1 L’addition .....................................................................................

décomposition des noyaux Théorème : Si alors , Corollaire : Si sont deux à deux premiers entre eux alors on a : Corollaire : Si et , les sont deux à deux premiers entre eux. Alors Corollaire : ( et ). . . 4. Polynôme de matrice Tout est identique pour les matrices en remplaçant par II. Réduction d’un endomorphisme 1. Valeurs propres et vecteurs propres d’endomorphisme a. Droite stable Problème : Soit une droite, on cherche une CNS pour que D soit stable par . b. Valeurs propres

suivre - Deuxième année 1. On commence par exprimer le domaine en fonction de r et θ. On a en effet : x ≥ 0 et y ≥ 0 =⇒ θ ∈ [0, π/2]. D’autre part, x2/3 + y 2/3 ≤ 1 =⇒ r2 ≤ 1 =⇒ 0 ≤ r ≤ 1. Calculons encore le jacobien de ce changement de variables. La matrice jacobienne a pour forme : cos3 θ −3r cos2 θ sin θ . sin3 θ +3r sin2 θ cos θ http://www.bibmath.net 6 Exercices - Intégrales multiples : corrigé Le déterminant jacobien vaut donc : 3r sin2 θ cos2 θ + 3r cos2 θ sin4 θ = 3r sin2 θ cos 2θ. On en déduit

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e 