Matrice antisymétrique

(¡1)n. 3) Il faut et il su¢t que le terme dominant de Q soit (¡1)nXn : ² Si A existe on sait par le cours que le terme dominant du polynôme caractéristique est (¡1)nXn ² Réciproquement si le coe¢cient est (¡1)nXn le calcul précédent donne une matrice compagnon qui admet Q comme polynôme caractéristique en partant de P = (¡1nQ a) Les valeurs propres sont les racines de  qui se calcule par un déterminant; or le déterminant est invariant par transposition: det(tCp ¡ In) = det (Cp ¡ ¸In) b) on

α1-d+1-αd=0 ⇔ α-2αd+d=0 On peut en déduire que la matrice A ne peut être inversible que si α est différent de α= 12. Partie B : 1. Soit X∈R2 avec X a matrice xy X∈kerf-id⇔fX-id=0 ⇔fX-X=0 ⇔fX=X Or f(X)=AX donc ⇔AX=X ⇔ α1-α1-ααxy=xy On obtient le système suivant : X∈kerf-id⇔xα+1-αy-x=0 x1-α+αy-y=0 ⇔x(α-1)+1-αy=0 x1-α+(α-1)y=0 ⇔1-α(y-x)=0 1-α(x-y)=0 Si α=1, on a bien des matrices nuls donc kerf-id=R2 Si α≠1, x-y=0

Problème : matrices «toutes-puissantes» Notations et objectifs Dans tout le texte, K désigne le corps R ou C et p un entier naturel non nul. On note Mp (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans K et Ip la matrice unité de Mp (K). On pourra confondre M1 (K) et K. Une matrice N de Mp (K) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel r tel que N r = 0. Si M1 , . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1 , . . . , Mk ) désigne la matrice diagonale par

Comme g(t) est une racine de Nyquist, la formule précédente se simplifie de la manière suivante (m = m′ et k = l) 1 φk (t)φl (t)dt = δk,l m=0 (i) (j) c(i) c(j) m m g (t − mT − 2kT ) .g (t − mT − 2kT ) dt. √ Comme C/ 2 est une matrice unitaire, nous avons aussi φk (t)φl (t)dt = 2δk,l δi,j Donc la famille admet une double orthogonalité. 4. Le pré-traitement consiste en un filtrage adapté à g(t) suivi d’un échantillonneur à la cadence 1/T . Ensuite une multiplication terme-à-terme

d´signe un espace vectoriel sur R dont une base est B = (e1 , e2 , e3 , e4 ). e Soit u l’endomorphisme de E tel que la matrice de u par rapport ` cette base est : a   1 1 0 0 −1 −1 0 0  M = 0 0 −1 1  0 0 1 −1 1. D´terminer le rang de u et donner une base de Imu, une base de ker u en fonction e des vecteurs de la base B. 2. Calculer M 2 , M 3 et montrer que pour tout entier p matrice A telle que : M p = αp A. Expliciter alors M p . 3. (a) Donner une base, en fonction des vecteurs de la base B, de

aldéhydes comme le formaldéhyde (formol) qui font des pontages entre les groupements aminés des protéines et toutes les protéines vont se retrouvés piégés, réticulés, ça tue la cellule puisque ça fixe chaque molécule. - Inclusion du tissu dans une matrice ou congelé pour les durcir car tissus trop mou pour être coupés. - On utilise des microtomes ou ultra microtomes (pour le ME) pour faire des coupes. On utilise de la paraffine résine molle pour rigidifier assez le tissu pour le couper à une taille

Valeurs propres et vecteurs propres des matrices L'objet "matrice 2x2"(rappel) 2 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice 2x2 3 Vecteur propre associé à une valeur propre 4 Valeurs propres de matrices particulières 5 Vecteurs propres associés à une matrice diagonale 6 Matrice de passage d’une matrice à 2 valeurs propres 7 Matrice inversible (rappel) 8 La matrice de passage est inversible 9 La puissance d’une matrice à deux valeurs propres 10 Objectif Les

l’équation de la chaleur Corrigé par M.TARQI I. R ÉSULTATS PRÉLIMINAIRES 1.1 Puisque f est de classe C 2 sur l’ouvert U, alors, d’après le théorème de Schwarz on peut écrire, pour tout x ∈ U, ∂2f ∂2f (x) = (x), ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi donc Hx est une matrice symétrique, et comme elle est réelle, alors Hx est diagonalisable dans une base orthonormée de Rn . 1.2 1.2.1 f est de classe C 2 sur l’ouvert U et admet un maximum en a, donc d’après la condi∂f tion nécessaire des extremums df (a) = 0, donc (a) =

´tat d’´quilibre stable. e e 3. D´terminer la matrice de transfert du syst`me en boucle ouverte (On pourra, pour cela, utiliser e e la commande tf ). Ce syst`me est-il d´coupl´? Quel est le gain statique de ce syst`me? e e e e 4. Tracer la r´ponse indicielle du syst`me en boucle ouverte ` une entr´e d’amplitude 0.4 0.8 e e a e , pour un ´tat initial nul (Indication : on pourra utiliser la commande step en modifiant de fa¸on e c adequate la matrice B). Constater le lien existant entre le gain statique

pr´liminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5.1 D´terminant d’ une matrice . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5.2 Mineurs principaux d’ une matrice . . . . . . . . . . . 2.5.3 Matrice hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Matrice hessienne bord´e . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5.5 Matrices d´finie positive et semi d´finie positive . . . . e e 2.5.6 Matrices d´finie n´gative et semi d´finie n´gative . . . e e e e 2.5.7 Carat´risation . . . .