Matrice antisymétrique

seulement deux termes, le résultat est opposé : Applications antisymétriques a) Définition Une application Γ de E   u, v ∈ E E est dite antisymétrique si on a pour tout couple     u .Γ(v ) = −v .Γ(u ) Les applications antisymétriques sont linéaires. b) Matrice associée à Γ Etant linéaire, l’application antisymétrique Γ peut être représentée par une matrice 3x3 antisymétrique ( Lij ) dans la base ei . Les éléments de matrice de L sont donnée par {}   Lij = ei .Γ(e j ) = − L ji

NOTES DU COURS DE MATHS 3 CHRISTIAN LÉONARD 1. Rappels sur les espaces vectoriels Nous rappelons quelques propriétés fondamentales de l’espace vectoriel Rn . Nous revisitons en particulier les notions de base vectorielle et de matrice qui ont été introduites dans le cours de Maths 2. 1.1. Vecteurs, bases, parties libres. L’ensemble Rn est composé des éléments − → x = (x1 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n où les xi , 1 ≤ i ≤ n sont des nombres réels. Rn est donc le produit cartésien de n copies

· · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) est une forme n-linéaire alternée de E 2. En déduire que pour tout (x1, x2, · · · , xn ) ∈ En n∑ k=1 detB (x1, · · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) = Tr(u)detB (x1, x2, · · · , xn ) I.4 Déterminant d'une matrice

) = B(P, P ). 1. Montrer que B est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? antisy- métrique ? 2. Montrer que q est une forme quadratique. La forme q est-elle dé�nie ? Si ce n'est pas le cas, exhiber un vecteur isotrope non nul. 3. Calculer la matrice de q dans la base Bn = (1, X, . . . ,Xn). 4. Pour n = 2, déterminer la signature de q. La forme q est-elle positive ? négative ? 5. Déterminer une base de R2[X] qui soit q-orthogonale. Solution - 1. Pour tous P1, P2, Q ∈ Rn[X] et tout a ∈ R, on a

c Christophe Bertault - MPSI Matrices Dans tout ce chapitre, K est l’un des corps R ou C. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais si K est un corps quelconque, mais nous ne nous en préoccuperons pas ici. Les lettres n, p, q . . . désignent des entiers naturels non nuls. Matrices et opérations sur les matrices 1 1.1 Matrices Définition (Matrice) • On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K ou matrice de taille n × p à coefficients dans

cette formulation en passant par un point B quelconque : UPMC A. ALLICHE 9 M A = ∫∫∫ ( AB + BM ) ∧ r ( M ) dV = AB ∧ ∫∫∫ r ( M )dV + ∫∫∫ BM ∧ r ( M )dV (V ) (V ) (I-15) (V ) = M B + AB ∧ R On se retrouve bien avec la forme d’un champ antisymétrique. Exemple particulier : Champ de pesanteur uniforme. La pesanteur terrestre agit sur l’ensemble des milieux matériels par l’intermédiaire d’une force à distance qui agit sur l’ensemble du milieu et donc sur le volume de matière constituant le

d’élongation (symétriques ou antisymétriques) qui font intervenir une(des) variation(s) de(s) longueur(s) de liaison(s), les angles que forment ces liaisons restant constants, (stretching vibrations) modes de déformation, pour lesquels, au contraire, les liaisons gardent leur longueur, mais les angles qu’elles forment varient (bending vibrations) Principe Deux groupes les vibrations moléculaires : vibrations de valence ou d’élongation (symétriques ou antisymétriques) modes de déformation

. . . . . . . 23 23 23 23 24 25 26 27 Réduction des endomorphismes 6.1 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . 6.2 Valeurs propres et espaces caractéristiques 6.3 Diagonalisabilité et trigonalisabilité . . . . 6.4 Topologie de l’algèbre des matrices . . . . 6.5 L’exponentiation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

donnés doivent satisfaire à l’équation de la courbe, nous obtenons le système d’équations suivant : ax2 + bx1 + c = y1 1 ax2 + bx2 + c = y2 2 ax2 + bx3 + c = y3 3 Ce système d’équations ayant les variables a, b, et c, peut être traduit sous forme de matrice augmentée, qui correspondra bel et bien à celui présenté dans l’exercice. 8. Si le système est cohérent, nous pouvons soustraire les deux premières equations de la dernière, par exemple. Le résultat obtenu sera alors c – a – b = 0 ou c = a + b. Le

réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An n [X] n( ) n( ) t M la boule unité de l’espace euclidien la sphère unité de l’espace euclidien k k+1