Matrice antisymétrique

. . . . . . . . . . . . . 47 47 47 49 49 50 7 L’anneau des matrices 7.1 Généralités . . . . . . . . . . . . 7.2 L’anneau des matrices . . . . . . 7.3 Le groupe des matrices inversibles 7.3.1 Définitions . . . . . . . . . 7.3.2 Inversion d’une matrice . . 7.4 Quelques applications . . . . . . . 7.4.1 Systèmes linéaires . . . . . 7.4.2 Applications linéaires . . . 7.4.3 Matrice d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

des fonctions de classe C 1 de I 2.3 Par la recherche d'intégrales premières indépendantes Si λ est une valeur propre de A, comme det(A − λI p ) = 0 , il existe une combinaison linéaire, à coefficients non tous nuls, des lignes L i de la matrice A − λI p p telle que i=1 αi L i = 0 . En utilisant cette combinaison linéaire à partir des lignes de X − λX = (A − λI p )X + B p on obtient une équation différentielle ordinaire qui donne y = i=1 αi xi . Si A est diagonalisable

. . . . . 1.1.3 Trigonométrie . . . . . . . . 1.1.4 Dénombrement . . . . . . . . 1.1.5 Structures algébriques usuelles 1.1.6 Polynômes . . . . . . . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Déterminants . . . . . . . . . 1.3 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espaces préhilbertiens . . . . 1.3.2 Espaces euclidiens . . . . . . . 1.3.3 Automorphismes orthogonaux 7 7 7 7 8 10 11 11 12 12 12 13

(3 pour indiquer des normes unitaires + 3 pour indiquer l'orthogonalité de la base), et 3 paramètres pour décrire l'orientation du repère.  Construction des cosinus directeurs : ⃗1 ⃗1 ⃗1 ? ? ? ?11 ?12 ?13 ⃗ ? Repère initial 0 . Cette matrice de rotation vérifie 6 relations parmi les 9 ⃗0 ( ?21 ?22 ?23 ) ? ?31 ?32 ?33 ⃗0 ? paramètres (à savoir‖?1 ‖ = ‖?1 ‖ = ‖?1 ‖ = 1, ⃗1 . ⃗1 = ⃗1 . ⃗1 = ⃗1 . ⃗1 = 0). ⃗ ⃗ ⃗ ? ? ? ? ? ? Le vecteur de base ⃗1 de la base ?1 s’exprime dans

relation binaire sur A dont le graphe est: G {(a,a); (a,b); (a,c); (a,d), (a,e); (b,b): (b,c); (b,d); (b,e); (c,c); (c,d); (c,e); (d,d); (d,e); (e,e)}. 1) Représenter CJt par un diagramme. 2) CJt est-elle réflexive? symétrique -? transitive? antisymétrique? 3) Qtest-elle une relation d'ordre? Si c'est le cas, s'agit-il d'un ordre total (il faut justifier la réponse.). = = Exercice 7 On définit sur R2 la relation s par (x, y) s (x', y') x - 5y' = x' - 5y. • 1. Montrer que s est une

[ V ) > ^ = ° j - ) r (V(Ri)- V(Q)) ôl. ( 4 ) K 9 (1.50) Les relations (1.48) et (1.49) s'écrivent alors r - 0 i=j r.. + r.. - 0 i*j 1J ) > ) (1.5-1) (1.51) nous permettent de dire que les r.. sont antisymétriques par rapport aux indices. © [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits réservés. -27Considérons maintenant un point P quelconque. Ses coordonnées dans la base R seront 3 -+ OP = 3 x x 7 x. x. i=l = y

4 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Opérations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Champ de vecteurs antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Vecteurs liés, libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8 Champ de moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

un réel (pour l’agrandir ou le rétrécir). Mais on peut aussi additionner deux fonctions, ou multiplier une fonction par un réel. Même chose avec les polynômes, les matrices,... Le but est d’obtenir des théorèmes généraux qui s’appliqueront aussi bien aux vecteurs du plan, de l’espace, aux espaces de fonctions, aux polynômes, aux matrices,... La contrepartie de cette grande généralité de situations est que la notion d’espace vectoriel est difficile à appréhender et vous demandera une quantité conséquente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 11. Matrices 7 7 7 7 8 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . Rang d’une matrice . . . . . . . . . . Généralités sur les matrices carrées Matrice d’une application linéaire . Matrice de Passage . . . . . . . . . . Changements de base . . . . . . . . Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii xi 1 1 21 31 40 40 62 71 81 81 87 98 103 103 104 112 112 139 153 Chapitre 2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . .