Matrice extracellulaire

Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison Exercice 1 Soient a, b, c des réels vérifiant a2 + b2 + c2 = 1 et P la matrice réelle 3 × 3 suivante :   2 a ab ac P = ab b2 bc ac bc c2 1. Calculer le déterminant de P. 2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace

- Notation et relations de base On sait que le comportement dynamique des structures mécaniques conservatives peut être représenté par l’équation matricielle suivante : M y(t)+ K y(t) = f(t) (2) 1 où M et K sont respectivement les matrices réelles symétriques Masse et Raideur de dimension (n , n) ; M Supposée définie positives, K non négative. f(t) représente le vecteur des forces excitatrices. En régime harmonique, f(t)=f.e , où s=j , étant la pulsation de la force excitatrice

1) Montrer en utilisant la d´finition que B = (e1 + e2 + e3 , e2 + e3 , e3 ) est une base de E. e Pourquoi aurait-il ´t´ suffisant de montrer que la famille (e1 + e2 + e3 , e2 + e3 , e3 ) ´tait libre ou ee e g´n´ratrice ? e e 2) Quelle est la matrice P de passage de la base B a la base B ? Calculer P −1 . ` En d´duire les coordonn´es dans la base B d’un vecteur de coordonn´es (x1 , x2 , x3 ) dans la e e e base B. En d´duire les coordonn´es de e1 , e2 et e3 dans la base B ? e e Exercice

égale à la trace de la matrice de variance-covariance des données X définie par : V = (X— —l x) Où I désigne la matrice unite. L'inertie étant invariante par translation, on petit centrer les données par X = , et obtenir une relati simple entre I 'inertie et la matrice de variance-covariance sur les nouvelles donngcs centrées X : In Trace(XTX). Pour des données centrées et réduites Trace(XTX) = n. En considérant le sous-espace de dimension q < n et en notant v n la matrice associée au projecteur

= (e1 , e2 , e3 ). 2. Dire s’il est vrai ou faux qu’on a v · v > 0 pour tout vecteur v non nul. Justifier rigoureusement la réponse. 3. Exprimer la matrice de passage P entre la base canonique et la base des vecteurs suivants        1 1 1       B = e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 1 . 0 0 1 4. 5. 6. 7. 8. 9. On rappelle que P est la matrice représentative de l’application identité de R3 muni de la base B dans R3 muni de la base canonique. Dire si la base B est orthonormée. Exprimer le produit

tn−1 2 . . .     ,    b=  tn−1 m b1 b2 . . . bm         et x =   α0 α1 . . .    .  αn−1 Le polynome de moindres carrés est unique parce que Am×n est une matrice de Vandermonde avec n ≤ m, et donc rank(A) = n. 3 1.3 Résolution numérique des équations normales – instabilités d’une résolution directe par élimination de Gauss et même par factorisation de Cholesky – QR (Householder) et SVD factorisations

chapitre Chapitre 17 Matrices et applications linéaires Sommaire 17.1 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base . . . . . . 17.1.2 Matrice d’une appn linéaire dans un couple de bases . . . . 17.1.3 Coordonnées de l’image d’un vecteur par une appn linéaire 17.1.4 Propriétés opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.1 Matrice de passage d’une

volume du second degré à ? 60 degrés de liberté Dans le repère propre d'un élément de membrane, un noeud à ? 2 degrés de liberté Dans le repère structural, le noeud d'un élément de coque axisymétrique à ? 3 degrés de liberté La matrice de connexion relie ? A à q Dans SAMCEF, un manque de conditions aux limites: Se détecte numériquement par des pivots nuls Du point de vue des unités, un multiplicateur de Lagrange est homogène à ? Une force Laquelle de ces contraintes

les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. *** QUELQUES APPLICATIONS DES MATRICES DE GRAM À LA GÉOMÉTRIE Dans tout le problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2 et on note produit scalaire sur E et la norme associée. ( ) un Si x1 , x 2 , ..., x p sont p vecteurs de E, on appelle matrice de GRAM de x1 , x 2 , ..., x p , notée G ( x1 , x 2 , ..., x p ) , la matrice de M p ( ) de terme général ( xi  ( x1 x1 ) ( x1 x 2 ) ... x1 x p   ( x 2 x1 )

- Chapitre 2 Les matrices carr´es e Table des mati`res e 1 Produit et puissance des matrices 1.1 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . ee 1.2 Puissances d’une matrice carr´e . e 1.3 La formule du binˆme de Newton o 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 carr´es e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 4 5 5 6 matrices carr´es inversibles e D´finitions . .