Matrice inversible

Gershgorin Définition 1.1 “Disques de Gershgorin”. Etant donné une matrice carrée A dont les éléments {ajk } (j = 1, 2, ..., n ; k = 1, 2, ..., n) sont des complexes, on associe à chaque ligne j le disque fermé Dj dont le centre est l’élément diagonal n ajj et le rayon la somme des modules des éléments extra-diagonaux Rj = k=1; k=j |ajk |. Théorème 1.1 “Théorème de Gershgorin”. Avec les notations précédentes : Toute valeur propre λ de la matrice A appartient à l’un au moins des disques de Gershgorin, i.e

einθn Remarquons que n rn = 1+ 2a + O(1/n2 ) n n/2 = exp n 2a ln 1 + + O(1/n2 ) 2 n = exp (a + O(1/n)) → exp(a) n→+∞ nθn On en d´duit que e n→+∞ n→+∞ ∼ bn → b a + n n→+∞ n lim 1+ z n = ea eib = ez 2 Matrices antisym´triques r´elles d’ordre 2 ou 3. e e 2 A.1 On pose βn = 1 + α2 . βn est ´l´ment de R+∗ . De plus β1 I2 + A a ses deux colonnes norm´es ee e n n n et orthogonales et est donc dans O2 (R). Comme son d´terminant vaut 1, c’est mˆme un ´l´ment

Problème : matrices «toutes-puissantes» Notations et objectifs Dans tout le texte, K désigne le corps R ou C et p un entier naturel non nul. On note Mp (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans K et Ip la matrice unité de Mp (K). On pourra confondre M1 (K) et K. Une matrice N de Mp (K) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel r tel que N r = 0. Si M1 , . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1 , . . . , Mk ) désigne la matrice diagonale par

Matrices 2012 - 2013 1/9 Sommaire 1 Matrice 2 Opérations sur les matrices Matrices 2012 - 2013 3/9 Matrice Définition Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau d'éléments de R comportant n lignes et p colonnes. Elle s'écrit :    a1,1 ··· a1,n    . . . .. . . . . ou ai,j am,1 ··· am,n 1≤i≤n 1≤j≤p ou (ai,j ) où aij ∈ R est l'élément de la matrice situé sur la ligne i et la colonne j. Les scalaires ai,j sont

Matrices Issam Elhattab École Nationale de Commerce et de Gestion - Casablanca Université Hassan II - Mohammedia 2013 - 2014 I. Elhattab (ENCG) Matrices 2013 - 2014 1 / 12 Sommaire 1 Définition et notations 2 Opérations sur les matrices 3 Déterminant d’une matrice 4 Calcul de l’inverse d’une matrice 5 Résoulution d’un système d’équations linéaires : Pivot de Gauss I. Elhattab (ENCG) Matrices 2013 - 2014 2 / 12 Définition et notations

il e e e e le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´ a prendre. e` E XERCICE R3 , Soit A une matrice r´ elle d’ordre 3 telle que A = 0 et A3 + A = 0. On note E le R -espace vectoriel e B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de E et u l’endomorphisme de E dont la matrice relativement ` a la base B est A. 1. V´ rifier que u3 + u = 0 et que u n’est pas l’endomorphisme nul. e 2. (a) On suppose que u est injectif ; montrer que u2 = −idE

α1-d+1-αd=0 ⇔ α-2αd+d=0 On peut en déduire que la matrice A ne peut être inversible que si α est différent de α= 12. Partie B : 1. Soit X∈R2 avec X a matrice xy X∈kerf-id⇔fX-id=0 ⇔fX-X=0 ⇔fX=X Or f(X)=AX donc ⇔AX=X ⇔ α1-α1-ααxy=xy On obtient le système suivant : X∈kerf-id⇔xα+1-αy-x=0 x1-α+αy-y=0 ⇔x(α-1)+1-αy=0 x1-α+(α-1)y=0 ⇔1-α(y-x)=0 1-α(x-y)=0 Si α=1, on a bien des matrices nuls donc kerf-id=R2 Si α≠1, x-y=0

endomorphisme Polynôme d'endomorphisme ou de matrice 1 1 2.1 Polynôme d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Valeurs propres, vecteurs propres 1 1 1 Proposition 5 : E un K-ev, u ∈ (E) admettant un pomi πu , si F est un sous espace vectoriel de E u-stable, v = u/F, alors π v /πu . 3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique

multiple de M. Les multiples communs à A et B sont les multiples de M. Théorème. Si A et B sont unitaires, MD = AB. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. 5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles Définition. Un polynôme P de degré au moins 1 est irréductible sur K = R ou K = C si et seulement si il n’existe pas un diviseur Q de P tel que 1 < degQ < degP

1) Montrer en utilisant la d´finition que B = (e1 + e2 + e3 , e2 + e3 , e3 ) est une base de E. e Pourquoi aurait-il ´t´ suffisant de montrer que la famille (e1 + e2 + e3 , e2 + e3 , e3 ) ´tait libre ou ee e g´n´ratrice ? e e 2) Quelle est la matrice P de passage de la base B a la base B ? Calculer P −1 . ` En d´duire les coordonn´es dans la base B d’un vecteur de coordonn´es (x1 , x2 , x3 ) dans la e e e base B. En d´duire les coordonn´es de e1 , e2 et e3 dans la base B ? e e Exercice