Matrice inversible

chapitre Chapitre 17 Matrices et applications linéaires Sommaire 17.1 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base . . . . . . 17.1.2 Matrice d’une appn linéaire dans un couple de bases . . . . 17.1.3 Coordonnées de l’image d’un vecteur par une appn linéaire 17.1.4 Propriétés opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.1 Matrice de passage d’une

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 2 La diagonalisation d’une matrice 2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 CNS pour qu’une matrice soit diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exemples 3.1 avec valeurs propres simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison Exercice 1 Soient a, b, c des réels vérifiant a2 + b2 + c2 = 1 et P la matrice réelle 3 × 3 suivante :   2 a ab ac P = ab b2 bc ac bc c2 1. Calculer le déterminant de P. 2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace

euclidien ........................................................... 2 I-1 Définitions ...................................................................................................................................................... 2 I-2 Matrice d'un produit scalaire .......................................................................................................................... 3 I-3 Produit scalaire et norme euclidienne .........................................................

Maths-Info à l’Université du Havre Gisella Croce 2 Table des matières 1 Systèmes différentiels linéaires 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Etude de Y ′ (t) = AY (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Matrice fondamentale de solutions . . . . . . . . . . . . . 1.4 Etude de Y ′ (t) = AY (t) + B(t) . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Équations différentielles d’ordre p à coefficients constants 1.6 Etude des systèmes linéaires à coefficients variables . . . . 1

claire rend possible l’utilisation des vecteurs et des matrices. Les lecteurs de ce livre devraient ˆtre assez familiers avec l’alg`bre matricielle. Cette annexe e e est destin´e ` aider ceux qui esp`rent se rafraˆ e a e ıchir la m´moire et r´unir les e e r´sultats avec une plus grande facilit´. Les lecteurs devraient noter que le e e Chapitre 1 contient aussi un nombre utile de r´sultats sur les matrices, en e particulier ceux concernant les matrices de projection. Dans cette annexe, des preuves seront

⇔ . Donc E1 = Vect(v2 ) où v2 = (1, 0, 1). −8x − 5y + 8z = 0 x=z   x − z = −5y 8   4x + 4y − 7z = 0 z=0 −8x − 8y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E4 = Ker(f − 4Id) ⇔ . Donc E4 = Vect(v3 ) où v3 = (1, −1, 0). y = −x  z=0 Dans la base B = (v1 , v2 , v3 ), la matrice de f est D = diag(0, 1, 4). 1 où P =  −2 0   1 1 0 −1  et donc 1 0 3) Soit m 1. Les formules de changement de bases permettent d’écrire A = PDP−1 en notant B0 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 , Am = matB (fm ) = P × matB0

de distances entre une matrice et certaines parties de Mn ( ! ) Notations Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note : Mn ( ! ) : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n. Mn,1 ( ! ) : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne. Pour une matrice A de Mn ( ! ) , t A est sa matrice transposée, rang ( A) son rang et Tr ( A) sa trace. In : la matrice unité de Mn ( ! ) . S n ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn ( ! )

avec P =  3 − 2   3 2 6  0 0 0 0 0 1 √ √    3 6 0 − 3 3 2. Comme S est inversible (les valeurs propres de S sont ´gales ` celles de D), on peut poser U = ΓS −1 . e a Nous avons ensuite t U U = t S −1t ΓΓS −1 = S −1 HS −1 = P D−1 P −1 P D2 P −1 P DP −1 = I3 et U est bien orthogonale. Il reste ` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le

variationnelle discrète et en posant les matrices M0 = ( Ω N N wi wj )i,j σ wi wj )i,j K0 = ( Ω U 0 = (uh (Mi ))i,j F 0 = M ∗ (f (Mi ))i,j On obtient : (αM0 + K0 )U 0 = F 0 A0 = αM0 + K0 est symétrique, défini positive, inversible et creuse. 2.6 Il s’agit d’éliminer les noeuds placés sur le bord du domaine. On peut donc faire ainsi : Soit R la matrice diagonale dont le coefictient i,i vaut 0 si le noeud i est sur le bord et 0 sinon. F = RA + RA2 Avec A2 la matrice diagonale dont les termes diagonaux