Matrice nilpotente

CHAPITRE 4 : MATRICES 1. DEFINITION Soit f une application linéaire de Rn dans Rp ; on note (e1, e2, …, en) et (l1, l2, …, lp) les bases respectives de Rn et Rp. La matrice M associée à f relativement aux bases de Rn et Rp est le tableau dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs f(e1), f(e2), …, f(en) dans la base (l1, l2, …, lp) de Rp. 2. NOTATION Apn : est la matrice rectangulaire de p lignes et de n colonnes. aij : est l’élément de la matrice Apn de la ième ligne et de

Généralités sur les matrices  Sommaire 1.  Matrices particulières .............................................................................................................. 1  2.  Opérations sur les matrices ..................................................................................................... 2  Multiplication par un scalaire   : ............................................................................................... 2  Addition de deux matrices de même dimension (

Définitions II. Opérations sur les matrices A. Addition, soustraction B. Multiplication par un nombre C. Transposition D. Multiplication des matrices E. Inversion des matrices carrées F. Déterminant d'une matrice carrée III. Application aux systèmes d'équations linéaires G. Formulation matricielle H. Cas d'une matrice régulière I. Cas d'une matrice singulière I. Définitions Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes

MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1.  1 −6 8  On considère la matrice A =  0 7 3  22 17 0,1  1) Donner le format de A 2) Donner la valeur de chacun des éléments t 4  11 .  8 a14 , a23 , a33 et a32 3) Ecrire la matrice transposée A de A et donner son format Exercice n°2.  5 ... 7     ... 9 ...  . Soit la matrice A =  8 ... 0    7 1 3    1) Compléter l’écriture de A de format 4 × 3 avec : a32 = 5 , a23 = −4 , a21 = 8 et a12 = 11 2) Ecrire la matrice transposée

Rang d’une application linéaire Chapitre 3 : Matrices I- Généralités (définition, matrices particulières) II- Matrices carrées 1. Matrice diagonale, Matrice triangulaire 2. Matrice symétrique, Matrice antisymétrique III- Opérations sur les matrices 1. Addition, Multiplication, Puissance 2. Propriétés de l’ensemble des matrices 3. Matrice inversible IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan V- Matrice associée à un système de vecteurs VI- Matrice d’une application linéaire VII- Changement de

Introduction aux outils d’analyse quantitative. Chapitre I : Les matrices. Exemple d’introduction : Un étudiant veut aller manger. Il mangera soit au restaurant soit chez lui. Il veut savoir lequel des deux est le plus avantageux. On note x le prix du restaurant et y le prix à la maison. Dans la première semaine, il va 4 fois au restaurant et une fois chez lui donc nous avons : 4x + y = 51 Dans la seconde semaine, il va deux fois au restaurant et trois fois chez lui, nous avons :

fonction de plusieurs variables sont ceux où toutes les dérivées partielles s'annulent. Pour être complet, signalons encore sans entrer dans les détails que la nature du point stationnaire est en général déterminée par l'étude de la matrice des dérivées secondes (matrice hessienne), c'est-à-dire du tableau carré dont les éléments sont donnés par : hi , j = ∂2 f ∂xi ∂x j 3.2. Différentielle Pour exprimer que fi(x1,…,xn) (i = 1,…,n) est la dérivée par rapport à xi d'une fonction F(x1,…,xn) on note

Définitions : Soient (Ω,a,P) un espace de proba et E l’espace des états. 1) Une matrice π = (π (x, y), x, y ∈ E) est une matrice stochastique si : π (x, y) ≥ 0 pour tous x, y ∈ E et z π(x, z) = 1 pour tous x ∈ E. 2) Soit π une matrice stochastique sur E. Une suite de variables aléatoires (Xn, n ∈ N) définies sur (Ω,a,P) à valeurs dans E est une chaîne de Markov de matrice de transition π si pour tous n ∈ N, x ∈ E, on a : P(Xn+1 = x /

CCP PC Math´matiques 1 e Probl`me 1 e 1) a) F ⊂ M, F contient la matrice nulle, est stable par combinaison lin´aire , donc F est un sous espace vectoriel e de M b) I et F sont des ´l´ments de F et ne sont pas proportionnels donc (I, F ) est une famille libre de F ee ax + bz −bx + cz ax − by az − bt x z et M F = , on obtient F M = Posons M = ay + bt −by + ct bx + cy bz + ct y t y = −z c−a comme b = 0 , M ∈ F ´quivaut a e ` , donc F est un R-espace vectoriel de dimension 2 x= t+ z b (I, F ) est donc

; ce qui nécessite le calcul de la matrice de passage de la base (A, B, C) à la base (P1, P2, P3). II.1 Matrice de passage et matrice de covariance La matrice de passage s’obtient par diagonalisation de la matrice de covariance C associée aux Np points [Escofier, 1990]. En effet, calculer la matrice de covariance revient à faire l’approximation que les Np points font partie d’un ellipsoïde à trois dimensions (Figure 3) ; en diagonalisant cette matrice, on obtient : les axes de cet ellipsoïde