Matrice normale

la régression : L.I.N.E : Linéarité : La relation entre X et Y est linéaire Indépendance des erreurs : Les valeurs de l’erreur sont statistiquement indépendantes Normalité de l’erreur : Les valeurs de l’erreur sont distribuées selon la loi Normale pour toute valeur de X Égalité de la variance (appelée aussi homoscedasticité) La distribution de probabilité des erreurs a une variance constante Précisions à propos des hypothèses : Les valeurs estimées b0 et b1 (ou “hat” values) sont estimées

 Loi binomiale Repartition Dénsité Loi normale densité Repartition Khi 2 Ces données ayant été réparties en classes, il faut : calculer algébriquement la distance entre les données observées et les données théoriques attendues. se donner a priori un risque d'erreur, celle consistant à rejeter l'hypothèse, alors qu'elle est vraie (la valeur 5 % est souvent choisie par défaut ; il s'agit plus souvent d'une coutume que du résultat d'une réflexion) ; déterminer

52 cm. - la moyenne arithmétique des tailles est égale à 50,12 cm. - la variance est égale à 14,91 cm². 3. Représentation croisée par exemple [pic] Exercice 4 a) vrai, car cela signifie que la loi n'est pas très éloignée d'une loi normale et donc la moyenne (qui dans ce cas est égale à la médiane) est un bon indicateur de tendance centrale. b) faux, la variance est nulle si toutes les valeurs sont égales. c) vrai. Exercice 5 [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

probabilité que les huit entreprises emploient aucun salarié est 0,328. 3° ≥7 = =7 + =8 = × 0,87 × 0,13 + × 0,87 × 0,13 ≈ 0,721 La probabilité qu'au moins sept entreprises n'emploient aucun salarié est 0,721. B. Loi normale 1° Réponse C : 0,86 Justification (non demandée) : suit la loi normale de moyenne 874 et d'écart type 10,5. Soit la variable aléatoire définie par : ≤ 890,5 = 859,5 − 874 ≤ 10,5 = , =1− = 0,87 = 0,13 ; suit 29 11 −Π − ≈ Π 1,57 − Π −1,38 = Π 1,57 − 1 − Π 1,38 21 7

suffit de calculer E(X²) à l’aide de la fonction « sommeprod ». =SOMMEPROD(pi ;xi ;xi) 3 L’écart-type C’est un indicateur qui permet de caractériser une loi. En effet, les lois sont définies par une moyenne et un écart-type (exemple : la loi Normale). Elle est notée σ et se calcule de la manière suivant : [pic] |paramètres statistiques |Age | |la moyenne |42 | |la variance |232 | |l'écart-type

intervalle de confiance, mais on utilise la table de Student, puisque la variable aléatoire est distribuée normalement, que l’écart type est estimé, et que n 30, on applique donc le Théorème Central Limite (TCL), qui nous permet d’utiliser une loi normale ici ; Pas besoin d’utiliser une table de Student. B. Faux, c’est la largeur de l’intervalle qui vaut 2,6 C. Vrai, plus le nombre de sujet augmente, plus l’intervalle de confiance est précis. D. Faux, c’est sa précision qui vaut 1, 3 = Largeur/2

probabilité suivie en toute rigueur par X ? Préciser ses paramètres. 2) On approche la loi de probabilité X par une loi de Poisson. Préciser le paramètre de cette loi de Poisson. Donner la probabilité de l’événement X ( 2. Sachant que X suit la loi normale N(100,0,4), calculer les probabilités suivantes : p1 = p(X ( 101,2), p2 = p(X > 101,2), p3 = p(99,6 ( X ( 100,4). Quand on jette un dé 12000 fois, quelle est la probabilité d’obtenir plus de 2500 fois le 6 ? d’obtenir entre 1950 et 2050 fois

de 5% (), cfr calcul des intervalles de confiance). P-valeur (p-value) = P(tobs>=T ou plus extrême|H0)30 ou n=100, 200 ou 300, on va s’assurer qu’on est proche de la normalité (c-à-d que l’échantillon suit une loi normale). Ex : pour les porcs X (prise de poids) suit une loi normale dans l’échantillon, si elle ne l’était pas, ça n’irait pas. Application du test T à une moyenne : 1) On écrit l’hypothèse nulle et l’hypothèse alternative H0 : µ=u0 H1 : µu0 2) La statistique de test : On calcule

trouve e yk = 2907 ha k∈S et k∈S 2 yk = 154593 ha2 . 1. Donnez la valeur de l’estimateur sans biais classique de la moyenne de la population. 2. Donnez un intervalle de confiance ` 95% pour la moyenne. On rappelle que a le quantile d’une loi normale ` 95% est ´gal ` 1, 96. a e a Exercice II.5. Probabilit´ d’inclusion e Soit la population {1, 2, 3} et le plan de sondage suivant : 1 1 1 P[{1, 2}] = P[{1, 3}] = P[{2, 3}] = . 2 4 4 1. Est-ce un sondage al´atoire simple ? e 2. Calculez π1 , π2 et

donn´es X = {x t }N o` x t ∼ p(x) e t=1 u Variable ind´pendante et identiquement distribu´e (iid) e e Estimation param´trique e Famille de densit´s de probabilit´ p(x|θ) e e Estimation θ : les statistiques suffisantes de la densit´ e Avec une loi normale N (µ, σ 2 ), θ = {µ, σ} Estimation de θ ` partir de X a GIF-4101 / GIF-7005 (U. Laval) M´thodes param´triques e e C. Gagn´ e 2 / 32 Vraisemblance d’une estimation Vraisemblance d’une estimation param´tr´e par θ e e N l(θ)