Matrice normale

de 1% de vis défectueuses, quelle est la probabilité de rejeter un lot. Exercice 3 : Modèles continus Une machine est chargée de remplir des bidons d’une contenance nominale de 5 litres. On considère que le processus de remplissage suit une loi normale de moyenne 5 litres et d’écart type de 0,1 litres. 1. Quel est, au dixième près, le pourcentage de bidons contenant moins de 4,85 litres. 2. Quel est, au dixième près, le pourcentage de bidons contenant entre 4,95 et 5,05 litres. 3. On remplit un

arrondis à 10−3 près. Partie A : Conditionnement des pots 1. On veut p(X 6 49). Avec la calculatrice p(X 6 49) ≈ 0.202. 2. On note σ ′ le nouvel écart-type, et Z la variable aléatoire égale à X −50 σ′ a. La variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite. b. Une valeur approchée du réel u tel que p(Z 6 u) = 0,06 est u ≈ −1.555. c. Z = X −50 σ′ ⇔ X = σ ′Z +50 p(X 6 49) = 0,06 ⇔ p ¡ σ ′Z +50 6 49¢ = 0,06 ⇔ p µ Z 6 − 1 σ′ ¶ = 0,06 On doit donc avoir − 1 σ′ = −1,555

dans l’énoncé. Exercice 4: Soient X1, ….Xn , n variables aléatoires indépendantes de même loi, d’espérance mathématique m et de variance . Montrer que -m) → N(0, ). Exercice 5 : Soit ( un échantillon de variables aléatoires suivant une loi normale N(2, 4) avec n=25. I. 1) Déterminer la loi de la variable = 2) Calculer P (; P ( ; P ( 3) soit a) déterminer k pour que y suit une loi bien déterminer, en déduira son espérance et sa variance. b) - déterminer a tel que P( - déterminer

caractère est quantitatif (taille des individus,...), X sera une variable aléatoire égale aux valeurs du caractère ; on supposera en général que X est une variable aléatoire d’espérance mathématique (moyenne) , d’écart-type , et éventuellement de loi normale. Lorsqu’on n’a pas accès à l’ensemble de la population, on procède à un échantillonnage, i.e. au choix de n individus dans la population, sur lesquels on observe la valeur x du caractère X. On aura ainsi un échantillon X 1 , X 2 , . . . , X n est

pour prélever des pixels. Pour cela, enfoncez la touche Alt et cliquez sur la zone désirée 2) Appliquer l’outil, glissez sur la zone à corriger. Les options de l’outil Correcteur Il existe deux modes pour l’outil correcteur. Le Mode Normal est le mode de base il donne le plus d’efficacité a cette outil Le Mode Remplacer qui converti votre outil Correcteur en un outil Tampon. L’outil correcteur localisé L’outil Correcteur localisé permet de supprimer rapidement

probabilité ‫.59,0 = ݌ − 1 = ݍ‬ Donc ࢄ suit la loi binomiale de paramètres ࢔ = ૝૙ et ࢖ = ૙, ૙૞. ଶ 2°) ܲሺܺ = 2ሻ = ‫ܥ‬ସ଴ × 0, 05ଶ × 0,95ଷ଼ ≈ ૙, ૛ૠૠૠ ଴ 3°) ܲሺܺ ≥ 1ሻ = 1 − ܲሺܺ = 0ሻ = 1 − ‫ܥ‬ସ଴ × 0, 05଴ × 0,95ସ଴ ≈ ૙, ૡૠ૚૞ C. Loi Normale 1°) Soit ܶ = ௒ିଵଶ଴ , ܶ suit la loi normale centrée réduite ܰሺ0 ; 1ሻ. ܻ − 120 104 − 120 ܲሺܻ ≥ 104ሻ = ܲ ൬ ≥ ൰ = ܲሺܶ ≥ −2ሻ = 1 − Πሺ−2ሻ = 1 − ൫1 − Πሺ2ሻ൯ 8 8 = Πሺ2ሻ = ૙, ૢૠૠ૛ On a utilisé les formules : ܲሺܶ ≥ ܽሻ = 1 − Πሺܽሻ et Πሺ−ܽሻ = 1 − Πሺܽሻ ଼ 2°) Calculons

• Les 30 unités représentent un peu moins de 2 écart-types… OPTIMISATION DE LA GESTION DES STOCKS – ESITH/ 7 Mme L.BOUSFIHA Rappel statistique • Les mesures de tendance centrale • Les mesures de dispersion • La courbe de distribution normale Distribution des résultats 60 50 Nombre d'étudiants 40 30 20 10 0 50 - 54 55 - 59 60 - 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 89 90 - 94 95 - 100 Résultats Mme L.BOUSFIHA Mme BOUSFIHA

garçons sont-ils plus grands, en moyenne, que les filles? différence moyenne de taille: XD = 15,0 cm écart type de cette différence: D = 1,35 cm nombre d'écarts types au-dessus de 0 cm (0 cm  pas de différence de taille) Dans une distribution normale, la probabilité d'avoir une valeur qui s'écarte de la moyenne de plus de 11  est inférieure à 2.10-28 et donc complètement négligeable. Si nos échantillons sont représentatifs, il n'y a donc aucune chance que la différence de taille soit due au hasard

818. p(M) 0,165 Partie B Un produit de nettoyage conditionné dans des flacons est aussi vendu par le magasin. Le volume de produit contenu dans un flacon, en millilitres (mL), est modélisé par une variable aléatoire V . On admet que V suit une loi normale d’espérance 250 et d’écart type 5. Pour procéder à un contrôle, on prélève un flacon au hasard dans le stock du magasin. 1. Donnons la probabilité que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé soit compris entre 240mL et 260mL. p (240 V

continues : • la loi normale de paramètres réels µ et σ 2 , σ > 0, X ∼ N (µ; σ 2 ) : ∀t ∈ R, P(X t) = − t √1 −∞ σ 2π e (x−µ)2 2σ 2 dx. Figure 1.3 – Densité de probabilité de la loi normale N (0; 1). 10 • la loi exponentielle de paramètre λ ∈ R∗ , X ∼ E(λ) : t −λx dx. −∞ λe t) = ∀t ∈ R, P(X Figure 1.4 – Densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre k. • La loi du χ2 : Soient X1 , X2 , ..., Xk , k variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales de moyennes respectives