Matrice normale

correspondant à l’unité du l’incertitude sur x est donnée par 3 dernier chiffre. 1.2 Affichage L’affichage des ellipses d’incertitude suppose qu’il n’y a pas corrélation entre les deux grandeurs. Si on a entré des incertitudes-type — avec une loi normale, une ellipse de demi-axe u correspondra à un intervalle de confiance de 68%, 2u de 95% et 3u de 99,7%. — pour une loi rectangulaire u correspondra à 58%, 2u à 10% (sic) et 3u à 173% (resic) 2 Méthode des moindre carrés Soit une grandeur y fonction

La loi normale PRÉPARÉ PAR:  AIT ALI SARA  AIT BRIK REDOUANE  AIT OUMGHAR OUSSAMA  AIT TAHAR RACHID  OMAR AJDIR  AJERROUD SOUKAINA Généralités et définition On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite si sa fonction de densité est: Représentation graphique Caractéristiques et propriétés:  Notation N(μ;σ²)  Courbe symétrique autour de μ et a 2 points D’inflexion aux abscisses μ-σ et μ+σ  E(X) = μ  V(X) = σ² La loi normale centrée réduite

espace de probabilité. Dénition 1.1. Un processus stochastique B(t, ω) est appelé mouvement Brownien s'il satisfait les conditions suivantes : 1. P {ω; B(0, ω) = 0} = 1. 2. pour tous 0 ≤ s < t, la variable aléatoire B(t)−B(s) suit une loi normale centrée de variance t − s, i.e. pour tous a < b, P (a ≤ B(t) − B(s) ≤ b) = 1 2π(t − s) a b e−x 2 /2(t−s) dx. 2 3. B(t, ω) a des incréments indépendants, i.e., pour tous 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn , les variables aléatoires B(t1 )

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Première forme normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deuxième forme normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Troisième forme normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forme normale de Boyce Codd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 ) Une variable continue quant à elle peut prendre n’importe quelle valeur d’un intervalle. Des distributions de probabilités sont adaptées à ces deux types de variables : Loi hypergéométrique Loi binomiale Loi de Poisson Loi de Pascal Loi Normale ou LaplaceGauss Loi de Student Loi du Khi-Deux Loi de Fisher-Snédécor Lois des variables aléatoires discrètes Lois des variables aléatoires continues Ce chapitre étudiera ces différentes lois de probabilités en commençant par les lois des

− e−λx si x > 0 F (x) =  0 si sinon De plus on a E(X) = 1 λ et V ar(X) = 1 λ2 3.7. Loi normal La loi normal ou la loi de Laplace-Gauss est la plus c´l`bre des lois de probabilit´s. On ee e d´bute par le r´sultat de base de ce paragraphe commun´ment appell´ l’int´grale de Gauss e e e e e +∞ −∞ e− 2 dt = t2 √ 2π D´fintion: e Soit m ∈ R et σ 2 > 0. On dit que X suit une loi normale de param`tre m et σ 2 si sa densit´ de e e probabilit´ f est d´finie sur R par e e (x−m)2 1 f

notations suivantes : n : nombre total d'observations n1 : le nombre de symboles + n2 : le nombre de symboles k : le nombre runs Si les réalisations successives sont indépendantes et si n1 > 10 et n2 > 10, le nombre de runs converge vers une distribution normale avec : - - 2n1 n2 + 1 n1 + n 2 2n n (2n n − n1 − n2 ) σ k2 = 1 2 1 2 (n1 + n2 ) 2 (n1 + n2 − 1) E (k ) = On construit alors aisément un test d'hypothèse (ou un intervalle de confiance) pour juger de la probabilité d'observer le nombre de

ce Y ∼ B(90, 1/6). Le nombre moyen de 4 est donc E[Y ] = 15 et l’écart-type vaut σ(Y ) = 12.5. La loi de Y est illustrée figure 2.6 à droite. Le Théorème Central Limite explique pourquoi on obtient une forme de courbe “en cloche” typique de la loi normale (cf. fin de Chapitre 3). 2.5.4 Loi géométrique La loi géométrique est la loi typique du temps d’attente avant apparition d’un certain événement. Définition 2.13 (Loi géométrique) On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[

fluctuation asymptotique. Théorème – Intervalle de fluctuation asymptotique Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale Pour tout réel et . on a : est l’unique nombre strictement positif tel que lorsque suit la loi normale Définition - Intervalle de fluctuation asymptotique L’intervalle au seuil est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire fréquence qui à tout échantillon de taille associe la fréquence obtenue . Exemple