Matrice symétrique

• • 1 Cas d'une poutre o 1.1 Déformation o 1.2 Efforts de cohésion o 1.3 Contraintes 1.3.1 Contrainte normale 1.3.2 Cisaillement o 1.4 Calcul de la déformée o 1.5 Flexion en grande déformation o 1.6 Flexion déviée 1.6.1 Poutre symétrique 1.6.2 Poutre non symétrique o 1.7 Cas isostatiques 1.7.1 Flexion trois points 1.7.2 Poutre sur deux appuis avec une charge ponctuelle 1.7.3 Poutre encastrée 1.7.4 Flexion quatre points 1.7.5 Poutre sur deux appuis avec une charge répartie uniforme 1.7.6 Poutre

Composantes symétriques 1. Rappel sur un système équilibré Figure 1 Système équilibré (balancé) 2. Les équations de transformation Soit un système d’équations dans le domaine phaseur : Vabc = ZIabc ⎡ Va ⎤ ⎡ Zaa Zab ⎢V ⎥ = ⎢Z ⎢ b ⎥ ⎢ ba Zbb ⎢ Vc ⎥ ⎢ Zca Zcb ⎣ ⎦ ⎣ Si dans le cas particulier les termes mutuels sont nuls : 0 ⎡ Va ⎤ ⎡ Zaa ⎢V ⎥ = ⎢ 0 Z bb ⎢ b⎥ ⎢ ⎢ Vc ⎥ ⎢ 0 0 ⎣ ⎦ ⎣ Zac ⎤ ⎡Ia ⎤ Zbc ⎥ ⎢Ib ⎥ ⎥⎢ ⎥ Zcc ⎥ ⎢Ic ⎥ ⎦⎣ ⎦ 0 ⎤ ⎡Ia ⎤ 0 ⎥ ⎢Ib ⎥ ⎥⎢ ⎥ Zcc ⎥ ⎢Ic ⎥ ⎦⎣ ⎦ (1) (2) (3) On doit

d'indépendance vis à vis de l'observateur choisi. On parle alors de phénomène intrinsèque vis à vis du changement de référentiel. Certaines grandeurs sont objectives (déformations, contraintes, masse volumique ...), d'autre ne le sont pas (vitesse, matrice de changement de base ...). Enfin pour décrire la configuration d'un domaine matériel, il est possible de choisir parmi deux types de variables. 31/08/2013 Mécanique des Milieux Continus Page 8 Arts et Métiers ParisTech Centre d'Enseignement

Illustration de couverture : Photo GRAITEC © Dunod, Paris, 2010, 2013 ISBN 978-2-10-058536-6 9782100585366-Livre.indb 4 28/03/13 14:42 Table des matières 1 • Introduction 1 2 • Rappels sur le calcul matriciel 2.1 Notion de matrice 2.2 Opérations de base 2.3 Matrices carrées 3 • Rappels sur la mécanique du solide 3.1 Les contraintes 3.2 Les déformations 3.3 Relations entre contraintes et déformations 3.4 Énergie de déformation élastique 3.5 Quelques compléments sur les contraintes

Non Non Non Non Oui Oui Oui Non Non Crème dessert Non Non Oui Non Oui Oui Oui Non Non Non Gâteau de Riz Oui Oui Non Oui Oui Non Oui Oui Oui Oui Chocolat Beurre Liquide Parfum mandarine Emballage métal Mini-dose Sucre Riz Edulcorant Colorant Matrice de Coïncidence Barre de céréales Oui Non 2 2 2 4 3 5 2 0 Crème dessert Gâteau de Riz Oui Non Oui Non Indices de similarité : Indice Formule Coïncidences positives / Nombre de comparaisons Coïncidences positives / (Nombre de comparaisonscoïncidences

. . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5. Matrices I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2. Somme de deux matrices, produit d’une matrice par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3. Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Algèbre 1.1 Relations 1.2 Structures algébriques 1.3 Nombres entiers, nombres rationnels 1.4 Arithmétique dans Z 1.5 Polynômes et fractions rationnelles 1.6 Généralités sur les applications 1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 1.9 Espaces vectoriels euclidiens 1.10 Réduction des endomorphismes 1 1 2 5 7 8 11 12 17 22 26 2. Analyse 2.1 Espaces vectoriels normés 2.2 Nombres réels 2.3 Nombres complexes 2.4 Suites 2.5 Fonctions réelles

relèvent probablement pas du même métier. Au contraire, des modèles différents peuvent relever d’une même orientation stratégique : pour Renault, la R19 et la R21 par exemple. Ainsi, la démarche de découpage est exposée à deux risques de dérive symétriques : ✓ Si l’on adopte un découpage trop fin, chaque produit ou service apparaît comme l’expression d’un DAS. Dans ce cas, on occulte alors le fait que plusieurs produits ou services peuvent mettre en jeu les mêmes compétences, les mêmes caractéristiques

de variables de décision Fi : m matrices symétriques ∈ ℜn×n 73 Théorie de Lyapunov ɺ x(t ) = Ax(t ) Fonction de Lyapunov quadratique : V = xt Px Trois propriétés à vérifier…P matrice symétrique définie positive dV / dt < 0 ⇒ x t ( At P + PA) x < 0 ⇒ ( At P + PA) < 0 74 LMI Application au problème de stabilité dV / dt < 0 ⇒ ( At P + PA) < 0 V >0⇒ P >0 P = ∑ ξi Pi i =1 n ( n +1) 2 n ( n +1) 2 Pi :base de l’espace des matrices symétriques n ( n +1) 2  Pi F (ξ ) = ∑ ξi

fonction qui calcule an où a est un numérique ou une matrice et n un entier naturel suivant l’algorithme d’exponentiation rapide. 11. Écrire une fonction qui calcule le produit de deux entiers en n’utilisant que des additions, des multiplications et des divisions par 2 (cette méthode s’appelle le produit du paysan russe ou ((multiplication russe))). 12. Écrire une fonction qui à partir d’un tableau [a0 , a1 , . . . , an−1 ] retourne le tableau symétrique [an−1 , . . . , a1 , a0 ]. 13. Écrire une fonction