Matrice

linéaire Chapitre 3 : Matrices I- Généralités (définition, matrices particulières) II- Matrices carrées III- Opérations sur les matrices IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan V- Matrice associée à un système de vecteurs VI- Matrice d’une application linéaire VII- Changement de base Chapitre 4 : Calcul de déterminants I- Calcul d’un déterminant d’ordre n II- Propriétés des déterminants III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs IV- Rang d’une matrice, Rang d’une application

définit également la matrice des coûts du graphe notée C = (cij) où : ”±•‡–± ’ƒ” †‰ƒ”   ‡– ‘”‘•  W  '/d ƒ‰‡           Cij = Cette notion matrice de coût du graphe peut être restreinte à la notion de matrice de coût minimum définie comme suit : Soit G = (X, U, un graphe valué, x et y deux éléments de X. Un chemin c de G de x à y est dit minimum lorsque pour tout chemin c’ de G allant de x à y on a : c’) ≥ (c). On définit alors la matrice M = (mij) de coût

1)Expression des fonctions d’interpolations et matrices associées: T(x)=N1(x).T1(e) +N2(x).T2(e) avec Matrice des fonctions d’interpolation N=< N1(x) ; N2(x) > Matrice gradient B telle que 1.1.2)Expression de la matrice de rigidité élémentaire: 1.1.3)Expression du vecteur force élémentaire: 1.1.4)Assemblage des matrices élémentaires: Uniquement dans le cas de plusieurs éléments. Ici la matrice globale et identique à la matrice élémentaire. 1.1.5)Relation de rigidité:

SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I. Suites de matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite définie pour tout entier naturel n par est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques et définies pour tout entier naturel n par et . b) Soit deux suites numériques couplées et définies pour tout entier naturel n par : , et On pose pour tout entier naturel n : On pose encore : et . On a alors et pour tout entier naturel n, la relation

Diapositive 1Optique matricielleI - IntroductionII - Eléments de l’optique matricielleIII - Principales matrices de transfertIV - Expression générale d’une matrice de transfertV - Changement d’origineVI - Relation de conjugaisonVII - Association de deux systèmesEléments de l’optique matricielle On rappelle que l’approximation de Gauss, qui est l’approximation linéaire de l’optique géométrique, consiste 4 ne considérer que les rayons faiblement inclinés par rapport 4 l’axe optique du systéme et donc

matriciel 1 Définition Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes : Exemple avec n = 2, m = 3 : | | n et m sont les dimensions de la matrice. Une matrice est symbolisée par une lettre en caractères gras, par exemple A. On note Aij l'élément situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j (la ligne est toujours nommée en premier). On note [Aij] la matrice d'élément général Aij. On a donc : A = [Aij] Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (plus précisément

. . . . . 1.1.1 Vecdjzdjkszjc ozkd zl zleteurs et combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Produit scalaire, norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ecriture matricielle d’une combinaison linéaire . . . . . 1.2.2 Equations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Dépendance et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Exercices

pour ( par : 1. ( Malgré les apparences, les deux définitions ci-dessus sont rigoureusement les mêmes. Lorsque I = {1}, on retrouve ”moralement” K I = [|1, n|], on retrouve ”moralement” Kn I = [|1, n|] × [|1, p|] on retrouve l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes I = N, on retrouve l’ensemble des suites d’éléments de K I est une partie de K = R, on retrouve l’ensemble des fonctions de R dans R d’ensemble de définition I. 1.3. Produit d’espaces vectoriels. Proposition : le produit

résoudre le système linéaire Ax=b par la méthode du pivot de Gauss. Solution : 1) Résolution du Système par la méthode du pivot de Gauss : a) Ecriture du système sous la forme Ax=b b) Identification de la matrice augmentée c) Triangulation : transformation de la matrice A en une matrice triangulaire supérieure Pour K=1, pivot=a11= 2 Explication: - Les éléments de la 1ère colonne de A en dessous de a11 (pivot) sont mis à zéros. - Soit la formule suivante: L’ij = Lij – ( aik / pivot ) *

appelle matrice élémentaire de Householder, une matrice H de la forme : H=Im-2u u^t avec u un vecteur de norme 1. ( Une matrice de Householder se présente également sous la forme : H(v)= I – (2 (vv*) / (v*v)) avec v= a +- ||a||2 e1 (Toute matrice élémentaire de Householder est symétrique et orthogonale. ( La méthode de Householder pour le résolution d’un système linéaire à un second membre ( Ax=b) équivaut à trouver (n-1) matrices de Householder H1,H2,….,Hn-1 telles que la matrice Hn-1*Hn-2*…