Montre

de E telle que : e e ∀(x, y) ∈ E 2 : f (x + y) = f (x) + f (y) Montrer que f est une application lin´aire continue sur E e 2. On suppose que f est lin´aire v´rifiant : e e (f (xn ))n∈N est born´e dans F pour toute suite (xn )n∈N de E tendant vers 0 dans E. e Montrer que f est continue Exercice 2 : Soit (E, ||.||E ) et (F, ||.||F )deux K-espaces vectoriels norm´s e soit u ∈ lC (E, F ) on pose |||u||| = sup ||u(x)||F ||x|| 1 Montrer que |||u||| = inf{k 0, ∀x ∈ E, ||u(x)|F k||x||E } Exercice

V. I Une norme utile sur ℳ? (ℝ) I.A – Montrer que, pour tout polynôme ? ∈ ℂ[?], l’application ?? : ? ↦ ? (?) est une fonction continue de ℳ? (ℝ) dans ℳ? (ℂ). I.B – Montrer que l’application (?, ?) ↦ Tr( ?? × ?) est un produit scalaire sur l’espace ℳ? (ℝ). Dans toute la suite du problème, on note ‖ ⋅ ‖ la norme associée à ce produit scalaire. I.C – Pour tous entiers ?, ? entre 1 et ? et toute matrice ? ∈ ℳ? (ℝ), comparer |??,? | et ‖?‖. I.D – I.E – Montrer que : ∀(?, ?) ∈ ℳ? (ℝ)2 , ‖? × ?‖ ⩽ ‖?‖

2 : - « viviers »/ « réservoirs » renvoient à la richesse du Cormoran - « Cormoran » personnification avec la majuscule, il représente les seigneurs sur leurs terresvers 4 : - « allait » imparfait d’habitude qui montre qu’il trouve à manger tous les jours - « glacé » métaphore qui montre qu’il est handicapé par l’agevers 6 : - « sa cuisine allait bien »/ «la meme cuisine alla mal » antithèse + parallélisme de construction - « alla » passé simple qui annonce le problèmevers 7 : - on sort du récit

Watch Company (Société des Montres Rolex). document extrait de: http://www.lacotedesmontres.com |   | 1881 • Naissance de Hans Wilsdorf, le 22 mars dans la petite ville de Kulmbach, dans le nord de la Bavière.1900 • Hans Wilsdorf quitte sa ville natale pour s’établir à La Chaux-de-Fonds, où il est chargé de la correspondance en anglais et de travaux de bureau pour un exportateur de montres.1903 • Il part travailler à Londres pour un importateur de montres réputé.1905 • Hans Wilsdorf

← Aller ` la page pr´c´dente a e e 9.1. SEMAINE 1 CHAPITRE 9. EXERCICES DE COLLES 9.1.2 Les exercices +∞ 0 Exercice 9.1.1 Soient a, b > 0, montrer l’existence, puis calculer par deux m´thodes diff´rentes : e e e−at − e−bt dt. t 1 n+1 Exercice 9.1.2 On pose : Ik = 1. Montrer que : Ik converge et calculer Ik . 2. Montrer que : Jn → 0. 3. Calculer 0 1 tk ln t dt et Jn = t 0 ln t dt. 1 + t2 1 0 ln t dt. 1 + t2 +∞ Exercice 9.1.3 f (x) = 0 +∞ sin xt

éléments de M1 , α et β deux nombres complexes donnés. (a)- Montrer que MT (αx + βy) = αMT (x) + βMT (y). (b)- Montrer que αx + βy ∈ M1 et que M (αx + βy) = αM (x) + βM (y). 1 (c)- Montrer que |MT (x) − MT (y)| ≤ ||x − y||∞ . (d)- En déduire que |M (x) − M (y)| ≤ ||x − y||∞ . On dira que les fonctions MT et M sont lipchitziennes pour la norme ||.||∞ (e)- Pour tout τ ∈ R, on dénit la fonction xτ par : xτ (t) = x(t − τ ). 1 0 1 T (e-1) Montrer que MT (xτ ) = MT (x) + T −τ x(s)ds + T T −τ x(s)ds. Indication

des opinions. Dans un premier temps, il montre la relativité des opinions d'une part et d'autre part insiste sur le fait que la vérité n'est pas jamais trouvée par l'unanimité des hommes (l. 1 à 5). Puis l'auteur fait une hypothèse contre sa propre thèse en montrant que tous les hommes pourraient être d'accord. Mais dans ce cas l'accord des esprit ne garantit nullement le moyen pour nous même de découvrir le vrai. C'est ce qu'illustre l'exemple des mathématiques (l. 5 à 9). Enfin Descartes

a · b = 0A , pour tout a, b ∈ A. Montrer que (A, +, ·) est un anneau commutatif. Exercice 2 Soit 2Z = {2z tels que z ∈ Z}. Montrer que (2Z, +, ·) est un anneau commutatif. Exercice 3 x + y − 2 et x (Mars 2004) Soit (R, +, ·) l’anneau des nombres réels. et sur R de la manière suivante : ∀(x, y) ∈ R2 , on pose x y = y = x · y − 2x − 2y + 6. ) est un groupe abélien. , ) est un anneau commutatif unitaire. On définit deux nouvelles lois 1. Montrer que (R, 2. Montrer que (R, Exercice 4 On pose

+∞. En fait, vu que 2 ) est croissante, I 2) ∗ . On a alors, d’apr`s (??), I 2 I E(Mn E(Mn m e E(Mn+p − Mn )2 ≤ m∗ − I E(Mn ) d’o` u 2 → 0, ce qui montre que (M ) 2 et donc supp I E(Mn+p − Mn ) n n n≥0 est une suite de Cauchy dans L converge dans L2 . Montrons que (Mn )n≥0 converge p.s.. Soit Vn = supi,j≥n |Mi − Mj |. Evidemment Vn V et il suffit de montrer que V = 0 p.s. car, alors, Mn est p.s une suite de Cauchy et donc converge p.s.. Utilisant le Th´or`me ??, on a, pour tout ρ > 0, e e ρ I (V > ρ)

) une suite de nombres re´ ls telle que e u n +1 = 1 u n + 2 3 u0 ∈ R 1. On suppose que u0 = 3. Calculer u1 , u2 puis un pour tout n. 2. On suppose maintenant que u0 = 3 et pour α ∈ R on d´ finit la suite (vn ) par e vn = un + α, ( n ∈ N) a) Montrer qu’il existe une valeur de α pour laquelle (vn ) est g´ om´ trique de e e raison 1/3. b) Exprimer alors vn en fonction de un et n. c) En d´ duire que (un ) est convergente et calculer sa limite. e Exercice 2: 1. Pour x ∈ R, calculer e x + e− x