Morphisme de groupes

. . . . . . . . . 4.2.3 Transformations géométriques . . . . 5 Groupes 5.1 Loi de composition . . . . . . . . . . . 5.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . 5.2.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . 5.2.3 Morphismes . . . . . . . . . . . 5.3 Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Structures de groupes sur Z/nZ 5.4.2 Le groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . .

(G, ×) un groupe et H un sous groupe de (G, ×). On définit une relation binaire R sur G par : xRy ⇔ xy −1 ∈ H Montrer que R est une relation d’équivalence et en décrire les classes d’équivalence. xSy ⇔ (xRy et yRx) et xT y ⇔ (xRy ou yRx) Les relations S et T sont-elles des relations d’équivalences ? Exercice 2 [ 02644 ] [correction] Soit E un ensemble et A une partie de E. On définit une relation R sur ℘(E) par : Exercice 6 [ 03453 ] [correction] Soit (G, .) un groupe de cardinal

. . . . . . . . . . . i i i ii Liste des résultats v Notations usuelles vii 1 2 3 Concepts algébriques fondamentaux 1.1 Logique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Structures algébriques fondamentales . . . . . . . 1.3 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Arithmétique, combinatoire et dénombrement 1.5 Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . 1.6 Topologie élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Transformations géométriques . . . . 5 Groupes 5.1 Loi de composition . . . . . . . . . . . 5.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . 5.2.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . 5.2.3 Morphismes . . . . . . . . . . . 5.3 Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Structures de groupes sur Z/nZ 5.4.2 Le groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Montrer que Φ est un morphisme de groupes. Montrer que les coefficients de XY X −1 sont des fractions rationnelles des coefficients de X et de Y . En déduire que Φ est de classe C 1 . 14b. Montrer que dΦIn : Mn (R) → L(Mn (R)) est donné, pour tous X, Y ∈ Mn (R) par dΦIn (X)(Y ) = XY − Y X . Dans la suite du problème, on pose ϕ(X) = dΦIn (X) : Mn (R) → Mn (R) Y → XY − Y X . 15. Soit V un R-espace vectoriel de dimension finie et soit f : GLn (R) → GL(V ) un morphisme de groupes de classe C 1 . 15a. Montrer

Espaces projectifs réel . . . . . . . . . . . 2.1.2 Axiomes d'incidence dans un plan projectif 2.1.3 Eléments à l'inni . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Sous-espaces projectifs . . . . . . . . . . . Coordonnées homogènes . . . . . . . . . . . . . . Morphismes projectifs . . . . . . . . . . . . . . . Carte ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Carte ane d'une droite projective . . . . 2.4.2 Carte ane d'un plan projectif . . . . . . Homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Montrer qu’il existe en fait m ≤ n avec Am = 0. 2. Existe-t-il une matrice complexe A dont le carr´ soit ´gal ` la matrice suivante ? e e a 0 0 0   B =  −1 0 0  . 0 −1 0   Exercice 25 - Morphismes de groupes de GLn (K) dans K∗ - Math. Sp´ e Soit K un corps infini, φ : GLn (K) → K∗ un morphisme de groupes, φ(M ) s’exprimant comme un polynˆme des coefficients de M . Montrer que φ est une puissance du d´terminant. o e Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc... dans ces exercices, merci

surjections 5) Ensembles finis 6) Relation d'ordre a) Définition b) Ordre total, ordre partiel c) Majorant, minorant, maximum, minimum II : Structures algébriques 1) Loi de composition interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux et corps Annexe I : ensembles dénombrables et non dénombrables Annexe II : axiomes I : Vocabulaire On rassemble ci-dessous un certain nombre de notions, introduites en cours d'année. Une étude exhaustive

= diag(b1 , . . . , bp ) sont dans ∆, on a E(A + B) = E(diag(a1 + b1 , . . . , ap + bp )) = diag(ea1 +b1 , . . . , eap +bp ) = diag(ea1 eb1 , . . . , eap ebp ) = diag(ea1 , . . . , eap )diag(eb1 , . . . , ebp ) = E(A)E(B) E est donc bien un morphisme de groupes de (∆, +) dans (GLp (K), ×). B.1 Par hypoth`se, il existe une matrice inversible P ∈ GLp (K) et une matrice D ∈ ∆ telles e 1 1 que P −1 AP = D. On a alors Ip + n A = P Ip + n D P −1 . Comme (P M P −1 )k = P M k P −1 (r´currence sur k) on en

↦ exp(it) est un morphisme de groupes continu du groupe (ℝ, +) vers le groupe \scriptstyle (\mathbb{U},\times) (où \scriptstyle \mathbb{U} est l’ensemble des complexes de module égal à 1). On démontre alors que l’ensemble des nombres réels t tels que exp(it) = 1 est de la forme aℤ où a est un réel strictement positif. On pose alors π = a/211. Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne. Le groupe Bourbaki propose