Morphisme de groupes

intégration 3 MAT 714 Méthodes numériques 3 MAT 721 Algèbre non commutative 3 MAT 723 Topologie générale 3 MAT 728 Sujets choisis en algèbre 3 MAT 729 Algèbre commutative et géométrie algébrique 3 MAT 731 Groupes et représentations des groupes 3 MAT 736 Algèbre homologique 3 MAT 737 Surfaces de Riemann 3 MAT 744 Géométrie computationnelle 3 MAT 745 Analyse fonctionnelle I 3 MAT 748 Sujets choisis en analyse 3 Mise à jour le 01.05.2013 • doc_informatique

Applications linéaires Définition √ Soit K un sous-corps de C (Par exemple Q, R, mais aussi Q( 2)). On appelle espace vectoriel sur K un ensemble E muni d’une loi interne notée + et d’une loi externe notée . avec les propriétés suivantes : 1. (E, +) est un groupe abélien 2. La loi externe . vérifie (a) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E (b) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K ∀x ∈ E (c) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K ∀x ∈ E (d) ∀x ∈ E 1.x = x λ.(x + y) = λ.x + λ.y (λ + µ).x = λ.x + µ.x (λµ).x = λ(µ.x) On a les propriétés suivantes : α.0 = 0, 0.x = 0, α.(−x)

.. Le retour : quels sont les critères de réussite? Qu'ils soient claires, mais il faut aussi garantir le droit à l’erreur, et garantir la reconnaissance du travail accompli et celle de la personne. Dans une association, il est important pour le groupe de prendre conscience comment, il se positionne par rapport à l'autorité. Celle-ci est rarement concentrée en une seule personne, elle se partage, mais elle a besoin d'être clarifier. Effectivement, nous avons la Présidence de la structure, qui est

de passer de l’universalisme au rationalisme. L’espace de raisonnement comparatif, c’est la volonté de prendre en considération les données, les invariants, les fédérer à l’échelle mondiale. Les preuves irréfutables de la comparaison sont des groupes témoins. Que se passe t-il ailleurs pour valider un raisonnement comparatif? Démarches d’organisation : dans des centres d’études, veilles, ces données sont ensuite recueillies, classées, rationnalisée. B. Se libérer des tendances à l’ethnocentrisme

= P(k−1) (a) = 0 et P(k) (a) = 0. a est racine de P d’ordre au moins k si et seulement si P(a) = P ′ (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0. 3) Structure d’anneau de K[X]. Définition. Un idéal de K[X] est une partie I de K[X] telle que : Œ (I, +) est un sous-groupe de (K[X], +),  ∀P ∈ I, ∀Q ∈ K[X], PQ ∈ I. Définition. Un idéal I de K[X] est prinicipal si et seulement si il est engendré par l’un de ses éléments c’est-à-dire si et seulement si il est de la forme I = PK[X] = {PQ, Q ∈ K[X]}. Théorème. (K[X], +,

En particulier : z = 0 ⇔ x = y = 0 (attention ` v´rifier que x et y sont r´els !). a e e Puissances du nombre i 1 = −i. i On constate que i2 = −1. Donc En fait, z 2 = −1 ⇔ z ∈ {i, −i}. Plus g´n´ralement i3 = −i, et i4 = 1. e e Le sous-groupe de ( C∗ ,×) engendr´ par i est cyclique d’ordre 4 : (i) = {1, i, −1, −i}. l e Remarque Si ω est un complexe non r´el, alors on peut encore effectuer l’identification suivante : e 4 ∀ (x, y, x , y ) ∈ IR : x + ωy = x + ωy ⇔ x = x et y = y .

Proposition 1. — L’ensemble des automorphismes orthogonaux de l’espace (E, φ) est un sous-groupe de Gl(E). On le note O(E, φ), on l’appelle le groupe orthogonal de (E, φ). 2 Proposition 2. — Si (E, φ) est un espace quadratique de dimension finie, tout automorphisme orthogonal a pour d´terminant 1 ou −1. Ceux de d´terminant 1 sont appel´l´s les rotations de (E, φ), e e ee ils constituent un sous-groupe O+ (E, φ), le groupe sp´cial orthogonal de (E, φ), distingu´ dans e e O(E, φ). De plus [O(E, φ) : O+ (E

calcul. 1) L’application z ez est un morphisme du groupe additif (C, +) sur le groupe (C*, ) Considérons deux complexes quelconques sous forme algébrique : z=a+ib et z’=a’+ib’ Par définition même on aura : , et Examinons On obtient bien, vu les propriétés de l’exponentielle réelle et les formules d’addition, la relation fondamentale : On en déduit immédiatement que z C et n Z et 2) Le noyau de ce morphisme est l’ensemble des multiples relatifs de

Matrice triangulaire par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 23 23 23 23 3. Structure de Groupe 3.1. 3.2. 3.3. Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . 10 9 13. Réduction des Endomorphismes 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. Valeurs propres et vecteurs propres . Polynôme caractéristique .

reste qu’un très petit nombre de relations distinctes sur un ensemble donné engendrent un semi-groupe dont À PROPOS DE LA NOTION DE RôLE DANS L’ANALYSE DES RELATIONS SOCIALES 39 le nombre d’éléments et la complexité dépassent très vite ce qu’un esprit peut appréhender directement. Lorrain est donc contraint de simplifier son problème, c’est-à-dire de faire des équivalences entre les éléments du semi-groupe. La première idée est de considérer comme équivalentes des relations ayant le même graphe.