Moyennisation Limites

Passage à la limite lorsque a0 ,ie : l n1 0 soit n∞ Cela revient à considérer une infinité de masses, on modélise alors une corde en passant d'un modèle discret à un modèle continu (milieu continu) Modélisation : lim a 0 n a  = masse/unité de longueur on a a n1=l s k=2 T 0 am sin k  2n1 ≃2  T 0 am k  2 n1 ≃ k l T l ∂2 y ∂ t 2 = T 0 l ∂2 y ∂ x2 Équation de la corde vibrante ⇒ ∂2 y ∂t 2 − T 0 l ∂2 y ∂ x 2=0 Conditions Limites : y 0,t =y L

LIMITES I. Notion de limites : Dans tout le paragraphe f est une fonction définie sur un ensemble noté Df . 1. Limite en a de f : (a ∈ D f ) Soit a un réel quelconque de Df . Le théorème suivant est admis : Si f est une fonction dérivable sur Df , alors pour tout réel a de Df : lim f (x ) = f (a ) . x →a Exemple : toutes fonctions polynôme ou rationnelle vérifient ce théorème ainsi : Soit f une fonction définie sur R par : f (x ) = 0, 5x 2 − 3x + 3 . Alors : lim f (x ) = f (2) = −1 . x →2

naturellement considérée comme une application qui généralise la notion d’application polynôme, tout en étant déterminée par une suite infinie de coefficients, (ap )0≤p : p=+∞ ap z p p=0 1≤p≤n ceci sans tenir compte des difficultés liées au passage à la limite et qui ont fait l’objet des précédents cours. En effet, la somme d’une série entière vérifie seulement : p=+∞ p=n ap z = lim Pn (z) p=0 n→+∞ p avec Pn (z) = p=0 ap z p Si on a pu obtenir autant de résultats justes sans se soucier

16 16 17 18 II limites II.1 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Limites des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.1 Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.2 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.3 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.4 Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Calcul de limites dans les cas de formes

créés à chaque étape, on peut démontrer également, par un simple raisonnement, par récurrence, que la surface de la courbe engendrée après n constructions est égale à où A0 représente l'aire du triangle équilatéral initial. Ainsi, par passage à la limite, le flocon de von Koch délimite une surface finie.  Le triangle de Sierpinski Cet ensemble fractal utilise comme figure de départ un triangle équilatéral. En utilisant les milieux de ses côtés, on définit ainsi un nouveau triangle central que

solution. Conclusion L'équation f(x) = k admet une seule et unique solution sur [a , b]. Théorème des gendarmes : Théorème : Si au voisinage de a, les fonctions f, g et h vérifient : g(x)œf(x)œh(x) Et si g et h convergent vers la même limite l en a, alors : \lim_{x » a} f(x) = l Démonstration : Soit J, un intervalle centré en L. * Puisque : \lim_{x »a} g(x) = l il existe un réél A \in ]€ ; +¸[ tel que, pour tout x>A : g(x) appartient à J. * Puisque : \lim_{x

2. On étudie le signe de la dérivée. 3. On calcule les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de la fonction pour les valeurs de x où f' change de signe. Enfin on est en mesure de dessiner son tableau de variations. Exemples : *** Etudier les variations de . 1. On calcule la dérivée. Ici . 2. On étudie le signe de la dérivée : , donc f' est positive lorsque . 3. On calcule les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Ici, .

t 1 Donc lim ln x = lim 1 =0 car de la forme 1 . = t= t t ∞ x →∞ x t →∞ e x e e t t b. Déterminer les limites de h en 0 et + ∞. b. Limite en zéro. Ce n'est pas une forme indéterminée : comme lim ln x =−∞ ,alors lim h x=∞ . x→0 x→0 Limite en +∞ Forme indéterminée +∞ – ∞: on va factoriser ! h  x = x 1− e  ln x x  D’après la question de cours la parenthèse a pour limite 1, donc lim h x=∞ . x →∞ c. Étudier les variations de h sur l’intervalle ]0 ; +∞[. e x−e h est dérivable

une erreur de 10 années-lumière ! Quant au mathématicien, il se bornera à indiquer prudemment que plus on est proche de a, plus l’erreur est négligeable. Il faut donc s’attendre à ce que la définition rigoureuse de la dérivée utilise la notion de limite. Et c’est bien ce qui va arriver ! B Sur le tour de France . S G 100 m D 10 km P U A 400 m 10 km La courbe ci-dessus représente une étape du Tour de France. Même un non initié comprend qu’il y a une légère montée au départ suivie

choix de [pic] Conséquence : Si [pic] converge, l’unique réel l tel que [pic] est appelé la limite de la suite [pic]. On note [pic], ou [pic] (attention aux notations : dans les deux premières égalités, on a des suites en argument, dans la troisième, on a un terme). Pour dire « la suite [pic] converge », on peut dire aussi « [pic] admet une limite réelle ». Exemples de base : • Soit a un réel. La suite constante égale à a converge vers a