Myron Scholes

1 Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options Semaine « éléments finis », ENSMP 29 novembre 2006 Jean-Didier Garaud (ONERA, DMSE/LCME) Plan 2 Actions et produits dérivés Modèle de Black-Scholes Hypothèses & équations Calcul d'Itō EDP de Black-Scholes Différentes méthodes de résolution Options « panier » Sous-jacents Exemples de sous-jacents: Actions Obligations, PEL Indices (ex: CAC 40) Devises (ex: $ vs. €) 3 Sous-jacents Exemples de sous-jacents:

hypoth`ses de march´ Black-Scholes, le sous-jacent S a pour dynamique e e (3) La formule d’Itˆ donne alors o (4) dft = (µ − r) ft dt + σ ft dWt , f0 = S0 erT ∗ dSt = µ St dt + σ St dWt , S0 > 0. et par cons´quent f v´rifie l’´quation (1) avec µf = µ − r et σf = σ. e e e Soit un call europ´en de maturit´ T ´crit sur un futures ft = fS (t, T ∗ ) de maturit´ T ∗ ≥ T . Si T = T ∗ le prix e e e e ∗ de ce call peut ˆtre obtenu directement ` partir des formules de Black-Scholes en posant St = ft e−r(T

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 39 44 54 57 62 63 63 63 66 69 72 76 77 5 Modèle de Black Scholes 5.1 Hypothèses sur le marché . . . . . . 5.2 Modélisation probabiliste du marché 5.3 Probabilité risque neutre . . . . . . . 5.4 Portefeuilles autofinançants . . . . . 5.5 Duplication d’un produit dérivé . . . 5.6 Formule de Black Scholes . . . . . . 5.7 Sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Your Call # 2 & 4 Piano Secondhand Sere nade ?# 4 œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ 2 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ œ œ # ‰ œœ ‰ Œ œ œ Œ œ œ œ ‰ œj œ œ œ œ œ œ œ Œ œ œ œ Œ œ œ œ ‰ œ œ œ œœ & J ?# œ œ œ œ œœœœ œœœœ œœ œœ œœœœ œœœœ œœœœ œ œœœ # Œ œ œ œ Œ œ œ œ ‰ œ œ œ œ Œ œ œ ‰ j‰ j œ œ œ œ œ Œ . œ œ œ & J ?# œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœ œœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœ œ # & Ó Ó œœœœ Œ œ Ó Ó œ œ ˙ ˙ Ó œ œ œ œ œ Œ œj ‰ J ?# œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœ œœœ œ œ # Œ. & j

´valuation sous probabilit´ risque neutre e a e e e 2.3 Arbre binomial ` deux p´riodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e 2.4 Evalutation d’un put am´ricain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5 Convergence vers Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Prise en compte de dividendes et call am´ricain . . . . . . . . . . . . . . e 2.7 Les extensions possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Evaluation en temps continu 3.1 Introduction

présente la valeur au risque conditionnelle qui, elle, est cohérente. Nous terminons ensuite par les mesures du type shortfall risk. Le troisième chapitre expose le problème principal de ce mémoire. Nous nous plaçons dans un modèle de type Black-Scholes pour modéliser le prix d'un actif risqué. En expliquant comment d'autres auteurs ont réussi à minimiser la valeur au risque d'un portefeuille composé d'une action avec une option de vente, nous montrons comment l'on peut étendre leurs résultats

................................................... 4 Les mathématiques financières .................................................................................. 5 Le modèle de Black-Scholes....................................................................................... 5 Le modèle de Black-Scholes multi varié .................................................................... 6 Les modèles à sauts......................................................................................

du contrat. Page | 4 Exemple : Un investisseur vend le 01/04/2011 un put sur l’action ALPHA au prix de 1.600 DH. Echéance le 30/09/2011 au prix de 1.600 DH. La prime est fixée à 100 DH et le cours spot est de 1.600 DH. C- Le modèle Black-Scholes de valorisation des prix des options : Ce modèle est formulé en temps continu selon les hypothèses suivantes : Les options sont à l’européenne ; Elles portent sur des actifs sous-jacents ne payant ni intérêts ni dividendes durant la durée de vie

tout d'abord qu'en finance la valeur est l'estimation d'un prix potentiel, à un moment donné et suivant des conditions de marché données. ------------------------------------------------- Valeur d'une option Articles détaillés : modèle Black-Scholes et évaluation d'option. La théorie financière a établi que le prix des options dépendait de divers facteurs (écart entre prix d'exercice et prix actuel, volatilité du sous-jacent, durée restant à courir, taux d'intérêt sans risque, taux de dividende

implied volatility surface using an alternative to the Black-Scholes model known as the q-alpha-sigma model. This model captures much of the smile and so reduces the volatility surface to a one-dimensional term structure curve. We study the dynamics of this curve using principal component analysis and a GARCH model. This allows us to implement a simple vega-hedging strategy. 1 Introduction It is well known that the Black-Scholes model fails to accurately predict option prices. This failure