Nombre rationnel

L’arithmétique consiste à travailler exclusivement avec des nombres entiers. Quand on additionne deux nombres entiers, on obtient un nombre entier, et de même en soustraction. Quand on multiplie deux nombres entiers, on trouve encore un nombre entier. Mais quand on divise ? En général, la division ne tombe pas juste, et le résultat n’est pas un nombre entier. On sait que diviser, c’est multiplier par l’inverse. Mais l’inverse d’un nombre entier n’est pas un entier, en général. Prenons 3, son inverse

Rappel du collège sur les nombres décimaux Rappel de Collège : Les Nombres Décimaux LA NOTATION SCIENTIFIQUE D'UN NOMBRE Elle est de la forme a x avec 1 a 10, avec n un entier relatif (n € ) Exemple : 12 345 = 1.2345 x 0.0987 = 9.87 x LES NOMBRES DECIMAUX ( PURS) L'écriture décimale d'un nombre se compose d'une partie entière et d'une partie décimale séparées par une virgule (","). Exemple : 1,5 sa partie entière vaut 1 et sa partie décimale vaut 5 3,14 Sa partie entière vaut 3 et sa partie

Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006 2 Table des mati` eres 1 Les 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 nombres r´ eels et complexes Nombres rationnels . . . . . . . . . . Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . Densit´e des rationnels et irrationnels Nombres complexes . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Logique et langage des ensembles 2.1 Propositions et op´erateurs logiques 2.2 Quantificateurs . . . . . .

…………………………………………………….du triangle ABC. II Constructions de nombres à la règles et au compas. (Voir annexe 2) Choisissons deux points O et I. On peut ainsi tracer la droite (OI) et la munir du repère (O,I) qui nous donnera, une origine O d’abscisse 0, une unité de longueur OI=1 et un sens positif, de O vers I. Chaque point de cette droite correspondra donc à un nombre appelé son abscisse. A l’aide de quel instrument peut-on construire les nombres 2, 3, 4, etc… ? On peut donc construire tous les ……………………………

Erreurs classiques Nombres et ensembles Opérations et tableau des signes Hiérarchie des opérations Fractions Puissances et racines Puissances Racines Notations Polynômes et fractions polynomiales Les produits remarquables Les méthodes de factorisation Transformation de formules Méthodologie Exemple Equations paramétriques du 2ème degré Erreurs classiques Nombres et ensembles ℝ= Nombres réels = Tous les nombres ℚ= Nombres rationnels = Nombres à virgules ℤ= Entiers relatifs = Nombres négatifs ℕ= Entiers

Table des mati`eres 1 Nombres r´ eels et complexes 1.1 1 Les axiomes des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Axiomes alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Axiomes d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Axiome de compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Les nombres naturels . . . . . .

extraire la raciune sizième d’un nombre négatif, alors : dom(f ) = {x ∈ R / (9 − 3x) 6= 0 et (9 − 3x) ≥ 0} càd dom(f ) = {x ∈ R / (9 − 3x) Â 0} = {x ∈ R / x ≺ 3} que l’on écrit sous la forme dom(f ) = ]−∞, 3[ . 2) Soit f : x 7−→ f (x) = ln(− |x|) On a : dom(f ) = ∅ ! 1.2 : Construction axiomatique de R et Propriétés de base 2 : a) Construction sommaire et axiomatique du corps des Réels L’ensemble N ( noté aussi N ou IN ) = {0, 1, 2, 3, ...} , dit ensemble des nombres entiers naturels ou des entiers

dimensions. 1 2 2. Les nombres réels Les ensembles de nombres sont : – ensemble des nombres entiers naturels N = {0, 1, 2, . . .} – ensemble des nombres entiers relatifs Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} – ensemble des nombres rationnels p | p, q ∈ Z, q = 0 q Q= Proposition 1 Un nombre est rationnel si et seulement s’il admet une écriture décimale périodique ou finie. Par exemple : 3 = 0, 6 5 1 = 0, 3333 . . . 3 1, 179 325 325 325 . . . ←→ ←→ ←→ – L’ensemble des nombres réels R est l’ensemble

= b, a et b ∈ Z∗ , nous conduit ` une extension de e e a Z par l’ensemble Q des nombres rationnels : En effet, un probl`me aussi simple que la r´solution de l’´quation xn = a, a ∈ Q∗ et e e e + n ∈ N, n’admet pas de solutions en g´n´ral dans Q. Plus pr´cis´ment, pour n = 2 : e e e e  Exemple 1.1.2 L’´quation x2 = 2 n’admet pas de solutions dans Q. x e • Mais, on sait former deux suites de nombres de rationnels l’une croissante, not´e e (xn ) : x1 = 1, 4, x2 = 1, 41, x3 = 1, 414, · · · et

mati`ere non abord´es dans ce cours (nombres complexes, coniques, fonctions trigonom´etriques inverses, calcul matriciel . . . ) Le premier chapitre rappelle des notions fondamentales d’alg`ebre comme les puissances, la valeur absolue, la r´esolution d’´equations, d’in´equations ou de syst`emes, les polynˆomes, la d´ecomposition de fractions rationnelles en somme de fractions simples. Le deuxi`eme chapitre porte sur la trigonom´etrie. On y red´efinit les nombres et fonctions trigonom´etriques en mentionnant