Nombres premiers jumeaux

Cette propriété est : généralement donnée par l’énoncé soit conjecturée en observant les premières valeurs de Ensuite, il faut bien respecter les 2 étapes de raisonnement par récurrence : - L’initialisation ( vérifier que est vraie pour le premier indice ) - La transmission. On suppose que est vraie pour tout entier naturel quelconque , , montrons que est vraie ( DANS cette étape on doit UTILISER l’hypothèse de récurrence ) - Si est définie par une inégalité, on part en général de l’hypothèse

(u ). - Une suite u dénie pour tout entier naturel n n est notée (u ) . Remarques : 1. Lorsqu'une suite est dénie pour tous les entiers naturels supérieurs à un certain entier n , on dite que la suite est dénie à partir du rang n . 2. Le premier terme d'une suite u, appelé ausi terme initial, est u lorsque la suite u est dénie sur N et u lorsque la suite u est dénie à partir du rang n . 3. Les résultats énoncés dans le cours, donnés dans le cas général d'une suite (u ) dénie sur N,

Pi1 est un nombre, que l’on représente par la lettre grecque du même nom : π. C’est le rapport, constant, de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de la superficie d’un cercle au carré de son rayon. Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10–15 près2 est 3,141 592 653 589 793 en écriture décimale3,4. Pi1 est un nombre, que l’on représente par la lettre grecque du même nom : π. C’est le rapport, constant, de la circonférence

existe un nombre M tel que pour tout n ≥ 0 on a un ≤ M . 5. Une suite (u n ) est minorée s’il existe un nombre m tel que pour tout n ≥ 0 on a u n ≥ m. 6. Une suite (u n ) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée. 2 Les suites arithmétiques Définition 2 Une suite (u n ) est dite arithmétique s’il existe un nombre r , appelé raison de la suite, tel que, pour tout nombre entier naturel n, on ait u n+1 = u n + r . Propriété 1 Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u

Universit´ e Lille I Alg`ebre et th´eorie des nombres 2009/10 Math308 Fiche n◦ 4: Th´eor`emes de Sylow Exercice 1 Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que si H et G/H sont des p-groupes, il en est de mˆeme de G. Exercice 2 Soit G un p-groupe et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que H ∩ Z(G) n’est pas r´eduit `a l’´el´ement neutre. En d´eduire que le centre Z(G) d’un p-groupe est non trivial. Exercice 3 Soit G un p-groupe d’ordre pr . (a) Montrer que pour

Arithmétique pour les non spécialistes et compagnie …. EXERCICE 1 Le rocher de Sisyphe Dans la mythologie grecque, Sisyphe doit porter chaque jour un rocher en haut d’une montagne, mais une fois en haut, le rocher roule de nouveau jusqu’en bas. Le premier jour, il a fallu cinq heures, en tout, pour monter le rocher au sommet et pour que celui-ci redescende. Chacun des jours suivants, il faut deux fois plus de temps pour monter le rocher que la veille (Sisyphe est chaque jour plus fatigué), et le rocher

Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité) On considère la suite numérique (un )) définie sur N par : 3 1 u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = − u2n + 3un − . 2 2 Partie A : Conjecture 1) Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u1 et u2 . 2) Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u3 et u4 . 3) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite

2 1 22 7 3 3 121 . S10 =11× =11× = 2 2 3 On considère la suite (un) définie par u n= Exercice 2 La suite (vn) est une suite géométrique de raison positive telle que v10 = 384 et v14 = 6144. a) Déterminer la raison q de cette suite et son premier terme v0. 6144 Comme (vn) est une suite géométrique, v14 = v10 × q4, donc q4 = = 16. Comme q est 384 positif, on en déduit que q = 2. 384 384 3 = . On sait que v10 = v0 × q10, donc v0 = 10 = 1024 8 2 b) Calculer S7 = v0 + v1 + v2 + .... + v7. n1

: n → +∞ lim u n = – ∞ n → +∞ lim u n = – ∞ ⇔ n → +∞ lim ( - u n ) = + ∞ cas 3 ( suite convergente ) Soit L un réel donné. Intuitivement, dire que ( u n ) a pour limite L , signifie que lorsque n est de plus en plus grand, les nombres u n correspondants viennent s’accumuler autour de L C’est à dire, tout intervalle ouvert de centre L contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note : lim u n = L n → +∞ De manière plus mathématique : Pour tout ε (ε >

Méthodes Ch 2 : Démonstration par récurrence – Suites numériques Devant un exercice lié à une suite (un) . Se demander quel est le premier terme, comment il se note . Calculer d’abord quelques termes ( écrire éventuellement des approximations décimales ) Quelle est la question posée ? A – Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique B – Calculer un en fonction de n C – Etudier les variations de (un) D – Calculer la somme de termes consécutifs E – Etudier le comportement de