Nombres premiers jumeaux

Probl`mes de Pratique-Principe de l’induction e 1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 12 + 22 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1) . 6 2. Soit h > −1 un nombre r´el. Montrer l’in´galit´ de Bernoulli: 1 + nh ≤ (1 + h)n pour tout e e e entier n ≥ 0. 3. Montrer que pour tout entier impair n ≥ 1, n2 − 1 est divisible par 8. 4. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, 4n+1 + 52n−1 est divisible par 21. 5. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on 2n > n3 ? Justifier votre r´ponse. e 6. Consid´rer la suite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . i 1 3 3 3 5 7 8 9 Preuve de RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Un exemple d’utilisation de RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 1.2.2 Transformation d’un texte en nombres . . . . . . . . . . . . . 12 L’exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Cryptanalyses ´l´mentaires de RSA ee 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 Cryptanalyse de RSA connaissant ϕ(N

dernier salaire et d‟afficher l‟indemnité du cadre. Exercice: 2 Ecrire un algorithme qui calcule les sommes S1,S2 et S3, le nombre n est un entier naturel tapé au clavier. S1=1-2+4-8+16…….2^n S2=1-(1/2)+(1/4)-(1/8)+(1/16) - …….(1/n) S3= 1 + 3 +7 + 15 + 31+ …..+n Exercice: 3 a. Ecrire un algorithme qui saisit une valeur de référence valdébut, et puis saisit une suite de nombres et s‟arrête dès que l'on saisit une valeur qui soit supérieure à valdébut. A l'issue du traitement, l‟algorithme doit afficher

trouve des groupes de 11, 13, 17, 19. Un premier coup d’œil à ces colonnes, montre que la première colonne obéit à la règle « 10+1, 20+1, 20-1, 10-1 ». Les premiers groupements de la deuxième colonne s’ordonnent comme un fragment de table de multiplication de 2 « 3-6, 4-8, 5-10 », mais la séquence 5-7 échappe à cette hypothèse et la remet donc en cause. La troisième colonne est constituée de nombres premiers compris entre 10 et 20. Un nombre premier est un nombre qui ne peut être divisé que par 1 et

appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10. Exercice 2 Soit la suite définie par et pour tout nombre entier naturel n, par . Si f est la fonction définie sur l'intervalle par : , alors on a, pour tout nombre entier naturel n, . On donne sur la figure

EXERCICES : Chapitre « Suites arithmétiques et géométriques » Exercice n°1 Pour chacune des suites suivantes, calculer les quatre premiers termes : a. un = 2n – 7 b. un = – 3n + 4 c. un = n2 – 5 d. un = n – 2 n Exercice n°2 Pour chacune des suites suivantes, calculer u1, u2 et u3. a. { u0 = – 2 un + 1 = un + 3 b. { u0 = 1 un + 1 = 2un + 3 c. { u0 = 0 un + 1 = un 2 – 1 Exercice n°3 On considère la suite définie sur V par : vn = – 3n + 4. Ecrire en fonction de n :

alors la suite (Un)n >/= 1. Exemples : Sois la suite u définie par une formule explicite par Un = n2 + n. Calculer ses 3 premiers termes : U0 = 02 + 0 = 0 U1 = 12 + 1 = 2 U2 = 22 + 2 = 6 Pour tout entier naturel n, Un = f(n) avec f : x x2 + x Sois la suite u définie par une formule récurrente par U0 = 1 et pour tout entier naturel n par Un+1 = Un2 -1. Calculer ses 3 premiers termes : U0 = 1 U1 = U02 -1 = 12 -1 = 0 U2 = U12 -1 = 02 -1 = -1 II/Sens de variation d’une suite Si pour entier naturel

« arithmos » le nombre. C’est une branche de l’algèbre générale, elle comprend la théorie des groupes et la théorie du nombre. Elle prend en compte les types de nombre et étudie l’impact des opérateurs sur ces nombres. Quelques noms Euclide d’Alexandrie Leonhard EULER Christian GOLDBACH Pierre de FERMAT Stéphan BOUSQUET Table des matières 1 OUTILS DE BASE 4 1.1 Les sous-entendus dans la notation 4 1.2 Diviseurs 4 1.3 Nombres premiers 4 1.4 Décomposition en produit de facteurs premiers 4 1.5 Notation

existe un nombre M supérieur à tous les termes de la suite est dite majorée et le nombre M est un majorant de la suite. d) Toute suite croissante et majorée est convergente. e) Toute suite décroissante non minorée a pour limite –∞. f) (u n ) et (v n ) sont deux suites. Si pour tout entier n, n ≥ n 0 , u n ≤ v n et lim u n = +∞, 30. Vrai ou faux a) Faux : La suite 1 ; –1 ; 1 ; –1 ; … (u n = (–1)n) est bornée et non convergente. b) Vrai : les termes de la suite sont entre le premier terme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de B ÉZOUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de G AUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres premiers 5 5 5 6 6 8 8 9 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .