Nombres premiers jumeaux

en fonction de n. 3. Soit (un) la suite définie par et pour tout entier naturel n. Calculer Partie B Dans son verger, un homme souhaite creuser le bassin d’une piscine. On note un la quantité totale de terre évacuée au bout de n jours. Le premier jour, son frère vient l’aider et ils évacuent 5 m3 de terre. Les jours suivants, il est seul,et il évacue 3 m3 de terre chaque jour. 1. Calculer ? 2. Exprimer en fonction de 3. Conjecturer l’expression de un en fonction de n. Exercice

directement que pour tout entier naturel n , wn1  wn  2 . La suite ( ) est donc arithmétique de raison 2 et de premier terme . d) Cet algorithme détermine le rang du premier terme de la suite ( ) inférieur ou égal à 0,000001. Il renvoie . e) L’algorithme ci-contre détermine le plus petit entier n1 tel que wn  10000 DEVOIR MAISON N°1 (correction) 1.  On considère la suite de nombres  un  définie par : u0  1 , u1  1 1 et pour tout entier naturel n , un  2  un 1  un 2 4

÷ 4 2 2 . 13 Exercice 2 a2 + 3ab2 − ac − bc Calculer la valeur numérique de l’expression quand on donne à a la valeur 2, à b la 2abc3 valeur − 1 et à c la valeur −1. 3 Exercice 3 En exprimant les nombres 75, 72 , 35 et 27000 sous forme de puissances des nombres premiers 2, 3, 5 et 75 × 72 × 35 7, calculer . 27000 Exercice 4 √ √ a) Calculer ( 3 + 12)2 . √ b) Montrer que 3 − 5 > 0. Exercice 5 a) Développer le polynôme (3x + 2)(x − 3). b) Factoriser les polynômesf (x) =

ou géométriques, préciser le premier terme et la raison. 1) un+1 = un + 1 et u0 = -5 2) un = n – 5 1 3) un = n 3 52n+1 4) un = 2× 3(n+1) 7 Exercice 2 : étude d'une suite du type un+1 = a×un + b × Soit la suite (un) définie par u1 = 2 et, pour tout entier n de un+1 = 3un – 2. On considère la suite (vn) définie sur V* par vn = un + α (avec α ∈ Y). 1) Déterminer α pour que (vn) soit une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. 2) Ecrire vn, puis un en

N1 Nombres entiers et rationnels Série 1 : Diviseurs communs, PGCD Série 2 : Calculs de PGCD Série 3 : Problèmes Série 4 : Simplifier une fraction Série 5 : Opérations avec des écritures fractionnaires 3 SÉRIE 1 : DIVISEURS Le cours avec les aides animées Q1. Comment reconnaît-on un nombre divisible par 2 ? Par 3 ? Par 4 ? Par 5 ? Par 9 ? Q2. Qu'est-ce que le PGCD de deux entiers naturels ? Les exercices d'application 1 Vocabulaire COMMUNS, PGCD 5 Diviseurs communs (2) Détermine

= 0, 2 ⇐⇒ p 1 = 0, 1. 1 On en déduit aussitôt que r = 0, 1 et finalement : p 1 = 0, 1, p 2 = 0, 2, p 3 = 0, 3, p 4 = 0, 4. 2. a. La probabilité d’obtenir dans l’ordre 1, 2, 4 est p 124 = 0, 1 × 0, 2 × 0, 4 = 0, 008. b. Les tirages donnant trois nombres distincts croissants sont : (1, 2, 3), (1, 2, 4) , (1, 3, 4) et (2, 3, 4). La probabilité d’avoir l’un de ces tirages est donc : p 1 ×p 2 ×p 3 +p 1 ×p 2 ×p 4 +p 2 ×p 3 ×p 4 +p 2 ×p 3 ×p 4 = 0, 006+0, 008+0, 012+0, 024 = 0, 05. 3. a. On a un schéma

expressions « nombre algébrique », entier algébrique, polynôme normalisé, polynôme canonoque et nombre transcendant ainsi : un nombre complexe est dit algébrique s'il existe un polynôme P(x) non constant à coefficients entiers (c'est à dire dont les coefficients appartiennent à et tel que si de plus le polynôme P(x) peut être choisi « normalisé », c'est à dire tel que le coefficient de son terme de plus haut degré soit 1, on dit que est un entier algébrique un nombre qui n'est pas

CHAPITRE I : LES NOMBRES ENTIERS LES NOMBRES ENTIERS I. Multiples et diviseurs : Vocabulaire : b est un nombre entier et b 0 Un nombre entier a est un multiple d’un nombre b lorsque a est le produit de b par un nombre entier. On dit aussi que b est un diviseur de a. Exemple : a = 84 ; b = 12 a=84=12 7=b 7 84 est un multiple de 12 12 est un diviseur de 84 84 est divisible par 12 Propriété des multiples : La somme de 2 multiples d’un nombre est un multiple de ce nombre. Exemple : 56 est

Nombres Premiers ­ Un entier naturel n est premier si n 1 et s’il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n. ­ D´composer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c’est l’´crire sous la forme d’un e e produit de puissances de nombres premiers distincts. D´finitions : e Exemples : ­ 105 = 3 ¢ 5 ¢ 7. e 3 ¢ 5 ¢ 7 est la d´composition en produit de facteurs premiers du nombre 105. ­ 99 = 9 ¢ 11 = 32 ¢ 11 ­ 600 = 8 ¢ 3 ¢ 25 = 23 ¢ 3 ¢ 52 23 ¢ 3 ¢ 52 est la d´composition en produit de

division euclidienne de 2009 par 11. (b) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 10 par 11. (c) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 2009 + 2009 par 11. 2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre A n = 2 n + p. On note d n le PGCD de A n et A n + 1. (a) Montrer que d n divise 2 n. (b) Déterminer la parité de A n en fonction de celle de p. Justifier. (c) Dans cette question, toute trace de recherche