Nombres premiers jumeaux

Etudier les deux suites un = ∑nk=0 k!1 et vn = un + n.n! . Correction [005237] Exercice 19 √ √ Etudier les deux suites un = ∑nk=1 √1k − 2 n + 1 et vn = ∑nk=1 √1k − 2 n. Correction [005238] Exercice 20 **T Déterminer un en fonction de n et de ses premiers termes dans chacun des cas suivants : 1. ∀n ∈ N, 4un+2 = 4un+1 + 3un . 2. ∀n ∈ N, 4un+2 = un . 3. ∀n ∈ N, 4un+2 = 4un+1 + 3un + 12. 4. ∀n ∈ N, 2 un+2 = 1 un+1 − u1n . 3 5. ∀n 2, un = 3un−1 − 2un−2 + n3 . 6. ∀n ∈ N, un+3 − 6un+2 + 11un+1 −

PGCD ϕ(n) Fonctions génératrices Théorie des nombres P. Rouchon Ecole des Mines de Paris Centre Automatique et Systèmes Décembre 2007 La fonction ζ PGCD ϕ(n) Fonctions génératrices Plan 1 2 3 4 PGCD Zn et Z∗n Algorithme d’Euclide Complexité de l’algorithme d’Euclide ϕ(n) Fermat et Euler Théorème chinois Déchiffrement RSA Eléments primitifs Théorème de Lucas Fonctions génératrices Jean Dieudonné dans l’Encyclopeadia Universalis Exemples La fonction

En théorie des nombres, le théorème des nombres premiers est un résultat concernant la distribution asymptotique des nombres premiers. En définissant, pour tout réel positif x, le nombre π(x) comme le nombre de nombres premiers inférieurs à x, le théorème des nombres premiers s'énonce de la façon suivante : Théorème des nombres premiers — Lorsque x \rightarrow +\infty, on a \pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}. (ln (x) désigne le logarithme naturel de x ; pour la signification de ce \sim, et du

PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30) l’ensemble des diviseurs communs à 12

NOMBRES ENTIERS ET PGCD I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel

NOMBRES ENTIERS ET PGCD I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel est un diviseur

diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers (c’est la division vue ` l’´cole primaire). a e Voici la division euclidienne de 85 par 3 : Signification : 85 = 3 ¢ 28 + 1 Dans 85, il y a 28 fois le nombre 3 et il reste 1. Remarquons que le reste est toujours strictement inf´rieur au diviseur. e II. Diviseurs et multiples d’un nombre D´finition e Soient m et d deux nombres. On dit qu’un nombre d est un diviseur d’un nombre m s’il divise ce nombre, c’est-`-dire si le reste de a la division

appelle indicatrice d’Euler la fonction qui ` un entier n fait e a correspondre le nombre d’entiers a premiers ` n v´rifiant 1 ≤ a ≤ n. On note a e cette fonction ϕ. Si p est un nombre premier, alors tout entier compris entre 1 et p − 1 est premier ` p, aussi ϕ (p) = p − 1. On peut ´galement calculer assez facilement a e ϕ (pn ), toujours pour p premier et n ≥ 2 entier : les nombres premiers ` pn sont a exactement les nombres non multiples de p. Or entre 1 et pn , il y a exactement pn−1 multiples de p.

ce cours est de définir deux nombres premiers entre eux, une fraction irréductible et d’utiliser des algorithmes de recherche du PGCD de deux nombres pour manipuler les notions ci-dessus. Fractions irréductibles - définition Définition : Une fraction irréductible est une fraction simplifiée le plus possible. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Exemple 1 : 12 et 35 sont deux nombres premiers entre eux. Donc 12/35 et

2) Vocabulaire Si b est un diviseur de a , on peut aussi dire que : b divise a a est divisible par b a est un multiple de b 3) Remarque Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers Un nombre entier positif non nul est toujours divisibles par lui-même. B) PGCD 1) PGCD Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres. 2) Méthode de calcul du PGCD a) La méthode des listes Exemple avec 4 et 12 : 4= 1x4 12=1x12 4=2x2 12=2x6 Les diviseurs de 4 : 1