Optique géométrique

logarithme népérien est une primitive de la fonction 1/x : (ln x)’ = 1/x. Moyenne géométrique Définition : on se souvient que la recherche d’un caractère additif moyen conduisait à la notion de moyenne arithmétique, dite simplement moyenne, celle d’un effet multiplicatif moyen conduit à celle de moyenne géométrique. Soit une suite de nombres positifs : x1, x2, x3, … xn, de produit P = x1.x2.x3. … xn, on appelle moyenne géométrique, notée G, de ces nombres, le nombre qui multiplié n fois, ou élevé à la puissance

statistique descriptive, les n observations d’une variable statistique X donnent des calculs de grandeurs qui sont des fonctions de n variables réelles comme: * moyenne arithmétique ¯xA = 1 n(x1 + x2 + ... + xn) = 1 n n i=1 xi * moyenne géométrique ¯xG = (x1 × x2 × ... × xn)1/n = ( n i=1 xi)1/n * moyenne harmonique ¯xH = 1 1 n ( 1 x1 + 1 x2 +...+ 1 xn ) = 1 1 n n i=1 1 xi 1 1.3 Exemple : fonctions usuelles en SES * fonction affine f(x1, x2, ..., xn) = n i=1

EDUCATION TECHNIQUE Lycée secondaire Taha Houssein Mégrine EXERCICE Cotation fonctionnelle: « Montage d’un pignon » Clavette parallèle (3) Rondelle spéciale (4) Vis H (5) Arbre (1) Pignon (2) Vue en coupe Vue éclatée Le dessin d’ensemble ci-dessous représente une roue dentée (pignon) encastrée sur un bout d’arbre. Ce pignon ce trouve dans une boite de vitesse. L’arrêt en rotation est assuré par une clavette parallèle type C. L’arrêt en translation est assuré par un épaulement

mesurer la rentabilité d'un investissement. La moyenne arithmétique vue précédemment, et la moyenne géométrique. Un exemple nous aidera à comparer car les résultats obtenus sont différents : Exemple Soit un titre que l'on achète 500 F (V0), la rentabilité la première année est de -50%, et de 100% la seconde. La moyenne arithmétique des rendements est (100-50)/2 = 25 % La moyenne géométrique est égale à [(1+(-50))*(1+100)]1/2 = 0 % Les résultats sont très différents, dans un cas on gagne

CULTURE ET ART COMTEMPORAIN : LE CUBISME Que voulait dire Cézanne lorsqu'il disait : " Traitez la nature selon le cylindre, le cône, la sphère " ? Cézanne, impressionniste et précurseur du cubisme, est un peintre paysagiste passionné de la sainte Victoire, sujet d’étude par excellence et presque obsessionnel. Cette phrase, « traitez la nature selon le cylindre, le cône, la sphère » qu’il écrit dans une lettre est la clé de la compréhension de ses œuvres. En effet, Cézanne n’a de cesse de rechercher

arithmétique 1) La moyenne arithmétique simple 2) La moyenne arithmétique pondérée 3) La moyenne élaguée B – La moyenne quadratique 1) La moyenne quadratique simple 2) La moyenne quadratique pondérée C – La moyenne géométrique 1) La moyenne géométrique simple 2) La moyenne géométrique pondérée Sommaire G • 11 D – La moyenne harmonique 1) La moyenne harmonique simple 2) La moyenne harmonique pondérée 2 La médiane A – Calcul de la médiane : effectif impair et aucune valeur n’est répétée

· = an . c) L’inégalité proposée est ici grossièrement fausse, il faut remplacer x2 y2 x2 par x2 y2 z2 . L’inégalité à montrer est en fait : x2 y2 z2 x2 + y2 + z2 − 4 + 1 0. On appelle x2 = a1 , y2 = a2 z2 = a3 ainsi que m g et ma les moyennes géométriques et arithmétiques de ces trois nombres. L’inégalité à montrer devient : m3 (3ma − 4) + 1 0. g Il n’y a pas de problème quand 3ma − 4 0. Quand 3ma −4 0, la valeur minimale de m3 (3ma − 4)+1 sera obtenue pour la valeur maximale g de m g , c’est à

D'autres moyennes Type de moyenne Géométrique Pour 2 éléments x et y xy (x  0 et y  0) Pour n éléments x1, x2, ... , xn–1, xn n x1 x2 ... xn (xi  0) Quadratique x2 + y2 2 2xy 2 = (xy ¹ 0) 1 1 x+y + x y 2 2 2 x1 + x2 +...+ xn n n 1 1 1 + +...+ x1 x 2 xn Harmonique (xi ¹ 0) Exemples : On donne x = 3 et y = 5. Calculer les moyennes arithmétique, géométrique, quadratique et harmonique de x et y. Moyenne arithmétique : Moyenne géométrique : Moyenne quadratique : Moyenne harmonique

bénéfices ont augmenté de 6% pendant les deux premières années, de 10% pendant la troisième année et de 7% la quatrième année. Quelle l’augmentation moyenne sur quatre ans ? Exercice (15) : reprendre l’exercice 6 Calculez la moyenne arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique. Que remarquez-vous ? Exercice (16) : Les observations portant sur les salaires de 100 personnes sont données dans le tableau suivant : Salaires en [2 - 4[ [4 - x[ [x -9[ [9 - 11[ [11 - y[ 10 2 € Effectifs 15 28

 b  De plus ln(ab )  b ln(a) .    Si a  0, a n est l’unique nombre strictement positif dont la puissance n est égale à a .Par exemple, 3 27  3 car 3  27 .  1  1 3  Moyenne géométrique     La moyenne géométrique des nombres strictement positifs a1,a2 ,...,an est égale à a1  a2  ... an n .  Fonctions a a x ( a  0) x La fonction a a x est appelée fonction exponentielle de base a ( a  0 ). x   x La dérivée de a a