Pain complet

CCP MP I - ann´e 2000 e I CU dans C 0 ([0, 1], R) |fn (x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) → 0 quand n → +∞ et p quelconque par hypoth`se. Donc la suite e (fn (x)) est de Cauchy pour tout x, dans R complet, donc converge. la convergence simple ? 2) Une suite de Cauchy est born´e, donc on peut ´crire |fn(x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) ≤ M avec un e e majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ;

pourquoi? 2) On suppose que E = IR? Décrire géométriquement la boule ouverte B(x, r) pour x E E et r E lR+. ~: r ".:(. - (.l'x ) !L~. 3) La distance SNCF est-elle équivalente à la distance usuelle de lR2? Exercice 2 Soit (E, d) un espace métrique complet et j : E application contractante; c'est à dire qu'il existe k Ela, I[ tel que: E une / (x, y) E E x E, d(J(x),j(y)) ~ kd(x,y). montrer que a) En considérant la suite définie par Xo E E et Xn+l = j(xn), E possède au moins un point

pair. En effet, on part de l’équation deg(x) = 2m x∈G où m est le nombre d’arêtes. Si n est le nombre de sommets du graphe, on obtient 3n = 2m, ce qui impose n pair. 2. D’abord pour p = 2, le résultat est vrai : il suffit de considérer le graphe complet à 4 sommets. Pour p ≥ 3, on partage l’ensemble des sommets en 2, d’une part {a1 , . . . , ap }, d’autre part {ap+1 , . . . , a2p }. Les arêtes sont les suivantes : – a1 est relié à ap+1 , ap+2 et ap+3 ; – a2 est relié à ap+2 , ap+3 et ap+4 ; – ..

Bornsztein Table des matières 1 Premières notions 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4.1 4.2 4.3 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . Degré d'un sommet . . . . . . . . . . . Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . Graphe complet  Graphe multipartite Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

sans que deux conduites ne se superposent... On va généraliser un peu tout ça. Définition 6. On dit qu’un graphe est planaire lorsqu’il existe une manière de le dessiner dans le plan sans que deux arêtes ne se croisent. On appelle Kn le graphe complet à n sommets, c’est-à-dire qu’entre deux sommets il y a toujours une arête. On appelle Kn,m le graphe à n + m sommets tel que n de ceux-ci soient chacun reliés à tous les m autres et qu’il n’y ait aucune autre arête. Par exemple, le graphe précédent

-1- George R.R. Martin L’OMBRE MALÉFIQUE Le Trône de Fer **** Traduit de l’américain par Jean Sola Pygmalion -2- A John et Gail, avec qui j’ai tant de fois partagé le pain et le sel -3- PRINCIPAUX PERSONNAGES Maison Targaryen (le dragon) Le prince Viserys, prétendant « légitime » au Trône de Fer, en exil à l’est depuis le renversement et la mort de ses père, Aerys le Fol, et frère, Rhaegar La princesse Daenerys, sa sœur, épouse du Dothraki Khal Drogo Maison Baratheon

l’alcool etc. L’enrobage par des corps gras ou du sucre, la réfrigération par la glace naturelle. Ces techniques qui substituent, sont aujourd’hui mieux comprise et mieux contrôlées, donc plus sûres. Les sumériens maîtrisaient déjà la fermentation du pain et de la bière en 8000 ans avant JC. La fabrication du vin remonte à plus de 10000 ans et on peut imaginer que celle du vinaigre. Les babyloniens en 5000 ans avant JC fabriqué le vinaigre a partir de vin de palme. Au néolithique en 10000 ans avant

préoccupations principales des responsables politiques qui légifèrent. Tant dans le but d’assurer aux producteurs une juste rémunération de leur travail, que de mettre les consommateurs à l’abri de la pénurie, en leur garantissant, au meilleur prix, leur pain quotidien. Le Maroc n’échappe pas à cette règle, rendre plus impérieuse encore par des conditions climatiques irrégulières qui aboutissent d’une année à l’autre à des variations considérables de la production. A ce phénomène de l’irrégularité de

minutes. Une affreuse scène qu'on n'imagine seulement dans les films et les livres de science fiction. C'est pas possible... Je suis a Bondoufle, ma ville que je connais depuis seize ans, où j'ai grandi et passé mon enfance, ou j'allais chercher le pain a la boulangerie.. Cette même boulangerie qui de l'extérieur ne ressemble qu'a une façade abondamment peinte en rouge de sang de pauvres gens qui étaient en train de se faire déchiqueter C'est maintenant que j'ai réellement compris ce que voulais

boules de tendresse noire : ses yeux. Elle était si menue, si fragile qu'elle eût pu tenir aisément dans mon cartable, entre deux manuels scolaires qui parlaient de science et de civilisation. - Un sandwich, disait mon frère Nagib. Tu coupes un pain en deux dans le sens de la longueur et tu mets maman entre les deux tranches. Haha ! Evidemment, ce serait un peu maigre. Il faudrait y ajouter une plaquette de beurre. Haha ! Il adorait sa mère. Jamais il ne s'est marié. Un mètre quatre-vingts