PGCD de nombres entiers

Ensembles et applications ´e — La th´orie axiomatique des ensembles 8 — El´ments de th´orie na¨ des ensembles 9 — Applications 11 e e ıve 2 Les entiers naturels — L’ensemble I et la r´currence 14 — Ensembles finis 15 N e 3 Arithm´tique e — Divisibilit´ et division euclidienne 18 — Plus grand commun diviseur 19 — Th´or`me de Bezout 20 — Nombres e e e premiers 22 4 Structures alg´briques g´n´rales e e e — Relations binaires et lois internes 24 — Groupes 25 — Anneaux et corps 27 24 29

75 points) 0) DEF FN Rech_cycle (h, rang : entier ) : entier 1) Si (h = 4) Alors Rech_cycle ← rang Sinon Si (h mod 2 = 0) Alors Rech_cycle ← FN Rech_cycle(h div 2, rang+1) Sinon Rech_cycle ← FN Rech_cycle(3*h+1, rang+1) FinSi 2) Fin FN Rech_cycle Exercice 3 : (4 points) 0) DEF FN calcul_pgcd (M : Mat ; N : entier): entier 1) Pour i de 2 à N faire Pour j de 1 à N-i+1 faire M[i, j] FN pgcd (M[i-1, j], M[i-1, j+1]) Fin Pour

de mon site pour les installer sur le vôtre. ENTIERS, DENOMBREMENT ET ARITHMETIQUE PLAN I : Les entiers 1) Le principe de récurrence. 2) Propriétés de . 3) La division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss

une méthode pour trouver pratiquement le PGCD de deux nombres sans avoir besoin de faire leur décomposition en facteurs premiers. Il est basé sur la propriété suivante : Si a et b sont deux entiers avec par exemple a>=b, si r est le reste de a par b, alors le pgcd de a et b vaut le pgcd de b et r. On fait donc des divisions euclidiennes, jusqu'à ce qu'on trouve un reste nul. Le dernier reste non nul est le pgcd de a et b. Ex : On souhaite calculer le pgcd de 255 et 141. 255=1×141+114 141=1×114+27

corps B, dont la p´eriode d’apparition est de 81 jours. On appelle J1 le jour de la prochaine apparition simultan ´ee des deux objets aux yeux de l’astronome. Le but de cet exercice est de d´eterminer la date de ce jour J1. 1. Soient u et v le nombre de p´eriodes effectu´ees respectivement par A et B entre J0 et J1. Montrer que le couple (u; v) est solution de l’´equation (E1) : 35x − 27y = 2. 2. a) D´eterminer un couple d’entiers relatifs (x0; y0) solution particuli`ere de l’´equation (E2)

rang. - Soit un et vn tels que un < vn à partir d’un certain rang, alors si la limite de un = + 8 alors la limite de vn = + 8 si limite 1/Suites arithmétiques -Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que un+1=un+r pour tout entier n. r s'appelle la raison de la suite. -Expression du terme général: Si on note u0 le premier terme,on a: un= u0+nr Si on note u1 le premier terme,on a: un= u1+(n-1)r U est arth de raison r alors pour tout m et p on a : Um-Up=(m-p)r

Chapitre 2 : pgcd, ppcm. th´eor`emes de gauss et bezout 7 janvier 2014 Correction contrôle de mathématiques Du mardi 17 décembre 2013 Exercice 1 ROC et questions de cours 6 points 1) a) Théorème de Bezout : « Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au + bv = 1 » b) Il suffit de trouver une combinaison linéaire de a et b judicieuse pour éliminer n : (−7)a + (9)b = −63n − 35 + 63n + 36 = 1 Il existe donc un couple

: - déclaration de la variable (nom et type) - affectations de valeurs à la variable - suppression de la variable (souvent automatique) Licence Informatique - Semestre 2 - Algorithmique et Programmation 4 Instructions Déclaration de variable : entier i; Affectation de valeur à une variable : i <- 23; Expressions numériques et logiques : ((i+2) * (j-t/23)) mod 4 (a ou (b et non Lecture au clavier / Ecriture à l 'écran : Licence Informatique - Semestre 2 - Algorithmique et Programmation c))

) sont des compléments de cours facultatifs. Le chapitre 0 rappelle les notions prérequises et les dénitions les plus importantes. Il n'est pas traité en cours Table des matières 0 Rappels 0.1 L'ensemble 0.1.1 0.1.2 0.2 0.3 5 N des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 8 10 12 14 16 18 19 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriété fondamentale de

Arithmétique Objectifs Dans et [X ] qui sont des anneaux euclidiens : • Définir la notion de congruence. • Recherche des diviseurs communs : algorithme d’Euclide. • Notion d’éléments premiers entre eux : théorème de Bezout et ses conséquences. • Notion de Pgcd et de Ppcm. • Notion d’éléments premiers (ou irréductibles), décomposition en facteurs premiers. Sommaire I) Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Rappels . . . . . . . . . . . . . . .