PGCD de nombres entiers

corps, arithmetique Sommaire V.2 V.3 V.4 V.5 V.6 V.7 V.8 Divisibilit´ dans Z . . . . . . . . . . . . . . . e Pgcd de deux entiers relatifs . . . . . . . . . Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . R´solution dans Z de l’´quation ax+by=c . . e e Ppcm de deux entiers relatifs . . . . . . . . . Extension au cas de plusieurs entiers relatifs . Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Série corrigée : Arithmétiques Exercice 1 : 1. Déterminer les restes de la division de 5p par 13 pour p entier naturel. 2. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1 + 184n−1 est divisible par 13. Correction 1. p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = 2 : −1 ou 12, p = 3 : −5 ou 8, p = 4 : 1 donc pour p  4k le reste est 1, pour p  4k  1 le reste est 5, pour p  4k  2 le reste est 12 ou −1, pour p  4k  3 le reste est 8 ou −5. 2. N  314n1  184n1 : 31  2  13 

points) exercice 1 Dans cet exercice, tous les calculs devront être détaillés. 1. Calculer l'expression : A = (donner le résultat sous sa forme la plus simple). 2. Donner l'écriture scientifique du nombre B tel que : B = 3. Écrire sous la forme 4. Développer et simplifier : (où a est un entier) le nombre C tel que : C = . . exercice 2 Fiche issue de http://www.ilemaths.net 1 sujet du brevet 2005 Voici l'histogramme des notes d'un contrôle noté sur 5 pour une classe de 25 élèves.

différents types de nombres Les nombres entiers naturels sont les nombres : 0, 1, 2, 3... Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et les nombres entiers négatifs. Un nombre décimal est le quotient d'un nombre entier par une puissance de 10. La partie décimale de son écriture décimale s'écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls. Un nombre rationnel est le quotient d'un nombre entier relatif par un nombre entier relatif non nul. Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas

une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. > S o m m aire n introduction à la classe de troisième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 > Pro gramme NoMBreS eT caLcuLS 1 Calcul numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Calcul littéral 3 arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de ce cours est de définir deux nombres premiers entre eux, une fraction irréductible et d’utiliser des algorithmes de recherche du PGCD de deux nombres pour manipuler les notions ci-dessus. Fractions irréductibles - définition Définition : Une fraction irréductible est une fraction simplifiée le plus possible. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Exemple 1 : 12 et 35 sont deux nombres premiers entre eux. Donc 12/35

y ) = exp ( x) / exp ( y ) (ii) Par récurrence : pour tout n ∈ ℕ , on pose Pn :" ∀x ∈ ℝ, exp( x) n = exp( nx)" . Initialisation : ∀x ∈ ℝ, exp( x)0 = 1 = exp(0) = exp(0 x) donc P0 est vérifiée. Hérédité : On suppose que Pk est vraie pour un certain entier k , c'est-à-dire ∀x ∈ ℝ, exp( x)k = exp(kx) . Montrons que Pk +1 est vraie : ∀x ∈ ℝ, exp( x)k +1 = exp( x)k exp( x) = exp(kx) exp( x) = exp(kx + x) = exp((k + 1) x) . Conclusion : Donc pour tout n ∈ ℕ, Pn est vraie. exponentielle ROC 22 : Limites

TP D’Arithmétique et cryptographie 1 ARITHMETIQUE 1.1 ALGORITHME D’EUCLIDE ET COEFFICIENTS DE BEZOUT 1. Le PGCD de 336 et 102 336=102*3+30 102=30*3+12 30=12*2+6 12=6*2+0 Donc le PGCD (336 ; 102) = 6 2. L’ensemble des diviseurs commun de 336 et 102 sont donc 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , - 3 ,6 , -6 3. Calculons les coefficients de Bézout de 336 et 102 en remontant l’algorithme d’Euclide 6=30-(12 * 2) 6=30-(102-30*3)x2 6=102 * (-2) + 30 * 7 6=102 x (-2) +(336 – 102 ) x7 6 = 336 * 7 + 102 * (-23) Les

Arithmétique : PGCD de deux nombres I- Diviseurs communs de deux nombres Rappel : Divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10, 25 : Un nombre entier est divisible par 2 si : Si il est pair Un nombre entier est divisible par 3 si : Si la somme de ses chiffres est un multiple de trois. Un nombre entier est divisible par 5 si : Si il se termine par 0 ou 5 . Un nombre entier est divisible par 9 si : Si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Un nombre entier est divisible par

 Synthèse math Chapitre1 L’expression an est une puissance dont à est la base et n l’exposant. En résumé : une puissance est un nombre négatif dans le seul cas où la base est négative et l’exposant impair. 1) Produit de puissances de même base Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants. Si a £ Z et si m, n £ N, alors am. an =am+n 2) Puissance d’une puissance Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie