Pi

associant n nombres réels p1 , p2 , ..., pn tels que : • pour tout i allant de 1 à n, 0 ≤ pi ≤ 1 ; • p1 + p2 + ... + pn = 1. Propriété (loi des grands nombres) : Si on répète une expérience aléatoire d'univers E = {x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xn } un  grand nombre de fois  et pour une loi de probabilité adaptée à la situation, alors les fréquences de réalisation des issues xi se stabilisent autour des nombres pi Exemple : On jette un dé 100 fois et on note la face apparue à chaque lancer. Si

ville contre les Romains: grues, lance-pierres, miroirs qui enflammaient les vaisseaux adverses …               Ses miroirs paraboliques l'aurait fait côtoyer la notion d'infini.               Traité de géométrie.               Approximation de Pi par développement et par exhaustion(calcul d’aire de volume et dews longueurs de figures ci=omplexes)                         Vérifie que la couronne du roi est bien en or pur ou combinée de plomb.        Il la plonge dans un récipient

Conjecture du nombre Pi : 1 2 3 Prendre tuyau et mesurer son diamètre D : Enrouler une bande de papier et faire une marque au niveau de l’extrémité de la bande. Dérouler la bande de papier et mesurer le périmètre du cercle. On regroupe tous les résultats de la classe dans le tableau suivant : Diamètre du tuyau D Périmètre du cercle P P D On conjecture l'existence d'un nombre « spécial » pi. On prendra pour la suite pi ≈ 3,14 . La petite histoire : Le nombre Pi se note « π ». Son

3*5/216 Probabilité de gagné 1 euros = 3*1/6*5/6*5/6 = 3*25/216 Probabilité de perdre 1 euros = 5/6*5/6*5/6= 125/216 X suit le loi binomiale B(3,1/6) Yi 3 2 1 -1 Pi 1/216 15/216 75/216 125/216 Espérance = somme des Yi*Pi = 3*(1/216)+2*(15/216)+1*(75/216)-1*(125/216)= -0,0787 E(X)=np=1/2. Variance = sommes des Pi Yi2 –E(Y) 2 = 9*1/216+4*15/216+1*75/216+(1)*125/216 - E(X)2=1,239 V(X)=np(1-p)=5/12  Loi de probabilité discrète Exercice  Un appareil comporte 3 cartes électroniques

Arrondi (9.499) vaut …… Arrondi (2.5) vaut ……… Arrondi (8,99) vaut …….. Donne la valeur absolue de x. Abs (­20) vaut ……………. Donne le carré de x. Carré (5) vaut …………….. Donne   le   sinus   de   x   (x   en  Sin(PI/2) vaut …………….. radians). Donne le cosinus de x(x en rad). Cos (PI/2) vaut …………… Exp (0) vaut ……………… Donne le logarithme népérien de  Ln (1) vaut ……………….. Donne l’exponentielle de x. x si x est positif et provoque une  erreur dans le cas contraire. Donne la racine carrée de x si x 

25) vaut ……….. Arrondi (9.499) vaut …… Arrondi (2.5) vaut ……… Arrondi (8,99) vaut …….. Donne la valeur absolue de x. Abs (­20) vaut …………… Donne le carré de x. Carré (5) vaut ……………. Donne   le   sinus   de   x   (x   en Sin(PI/2) vaut ……………. radians). Donne le cosinus de x(x en rad). Cos (PI/2) vaut ………… Donne l’exponentielle de x. Exp (0) vaut  ……………… Donne le logarithme népérien de Ln (1) vaut  x si x est positif et provoque une ……………….. erreur dans le cas contraire. Donne la racine carrée de x si x

2 2. Loi de probabilité, Probabilité Définition : Définir une loi de probabilité sur  c’est associer à chaque élément ei de  un réel pi tel que : (1) 0 ≤ pi ≤ 1 in (2) p1+p2+……….+pn = 1 noté p i1 pi est la probabilité ( de réalisation ) du résultat ei. Rque : On la représente souvent à l’aide d’un tableau : i 1 ei pi e1 p1 e2 p2 ….. ….. en pn Equiprobabilité : On est en situation d’équiprobabilité si tous les résultats possibles ont la même

Exercice 1 : 1)une bougie cylindrique de rayon 3 cm et de hauteur 20 cm Volume = Pi * R² *h = 9 * 20 * Pi = 565.20 cm3  arrondi à 565 cm3 2)la boite pour expédier la bougie aura une base carrée de côté = 6cm et une hauteur de 20 cm soit Volume boite = côté * côté *  hauteur = 6 * 6 * 20 = 720 cm3 3)Pourcentage d'occupation de la boîte par la bougie  ( volume bougie / volume boîte ) * 100  = (565/720) * 100 = 78.47 % Exercice 3 : 1)Developper et reduire D =( x + 3 )² - (x

L'énoncé est un peu ambigu mais je suppose que la bille est posée sur le fond du récipient et qu'elle affleure la surface de l'eau. On a alors : Volume du cylindre = (piR².H) avec R=8cm et h=10 cm (diamètre de la bille) Volume de la bille = 4/3 pi(h/2)³ pour reprendre les notations ci-dessus V0= piR².h -1/6pih³ .(volume total du cylindre - volume de la bille)=1487 cm³ 2)même principe. On recouvre exactement une bille de rayon x avec une hauteur 2x d'eau V(x)=piR².2x - 4/3.pi.x³ V(x)-V0=

résultats et vérifier avec Maxima Calcul Résultat Utiliser la fonction carg Pi/4 3*Pi/4 Calcul Résultat Pi 0 Pi/2 -Pi/2 Question : Répondre par vrai ou faux Sans Maxima :? FALSE Sans Maxima : est-ce que(inégalité triangulaire) est vraie ? TRUE ? TRUE Avec,? TRUE ? TRUE ? TRUE Question : Réponse (ne pas oublier le modulo) si et seulement si 0 [Pi] si et seulement si Pi/2 [Pi] 3. Autres écritures des nombres complexes 3.1. Forme trigonométrique