Polynôme caractéristique

17 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications On utilise les mêmes notations qu'au chapitre 16. Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynôme caractéristique sont supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier

fonction du courant x. Les r´sultats e e suivants sont obtenus: (1) Quel est le degr´ du polynome d’interpolation? e (2) Compl´tez le tableau des diff´rences divis´es e e e ci-contre et donnez le polynome p(x) sous la forme de Newton. Ecrivez le polynome sous la forme de Horner et calculez p(2.17). i x (Amp.) y (Volts) 0 0.25 1 2 0.75 1.25 0.7 −0.45 −0.6 x y (3) Ecrivez le polynome d’interpolation sous forme standard. Exercice 7 (25pts) Integration num´rique. e Le tableau

une bille de rayon x avec une hauteur 2x d'eau V(x)=piR².2x - 4/3.pi.x³ V(x)-V0= piR².2x - 4/3.pi.x³ -piR²h+1/6pih³ =4/3pi(3/2R²x -x³-3/4R²h+3/24h³) avec R=8 et h=10 =4/3pi(96x - x³ - 355) Tu sais que V(5)=V0 donc f(5)=0. Comme f est un polynome, tu peux mettre (x-5) en facteur (x-5)(ax²+bx+c)=ax³ +(b-5a)x² + (c-5b)x -5c Il faut que ça soit égal à 96x - x³ - 355, donc égaliser les coeeficients un à un . a=-1 b=-5 c=71 --> f(x) = 4/3 pi (x-5)(-x² -5x + 71) f(x)=0 si l'un des deux

fonction cumulative de Hilbert de M = n≥0 Mn est défini par la fonction numérique n → H ∗ (M, n) = 0≤i≤n H(M, i) 2.1.2 Définition Soit d ≥ −1 un entier. Une fonction numérique ϕ : Z → Z est dite de type polynomial de dégré d s’il existe un polynôme P ∈ Q[X] de dégré d tel 7 que : ϕ(n) = P (n) ∀n 0. Par convention le polyôme nul est de dégré −1. 2.1.3 Théorème de Hilbert Soit A = n≥0 An un anneau noéthérien gradué à dégrés positifs de la forme A = A0 [x1 , x2 , ..., xr ] où chaque

équations aux dérivées partielles 5.1 Rappels et mise en garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 EDP linéaires d’ordre 1 à coefficients constants . . . . . . 5.3 EDP linéaire d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 EDP linéaires d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Cas des coefficients constants, sans second membre . . . . . . . . . . . . .

identit´ e e se notera In . Pour toute matrice A de Mn (C), tA d´ signe la matrice transpos´ e de A, Sp(A) repr´ sente le e e e ` spectre de A (c’est a dire l’ensemble de ses valeurs propres), Tr (A) d´ signera sa trace et rg (A) son e ˆ rang. Le polynome caract´ ristique de A se notera χA , il est d´ fini par e e ∀ λ ∈ C, ´ Epreuve de Math´ matiques II e χA (λ) = det(A − λ In ) . 1/3 Tournez la page S.V.P. Concours National Commun – Session 2006 – PSI Pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments de {1

fonction hl telle que AhI = h et simplifier l’expression de 5 8. k=n 1.5. Montrer que : k$nf(k)(Ag)(k) 2 kc” . k=n = (fd(P+ 1) - (fg)(n) - kcng(k + l)(Af)(k). 1.6. En déduire T.S.V.P. 2. Polynômes factoriels. Pour tout entier naturel n, on note E, l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré = 1 et pour tout k, entier naturel non nul, on note inférieur ou égal à 72. On pose F&) F~@E) =+-l).+~k+l). 2.1. Soit n E N. Montrer que (Fo, . . . , F,) est une base de E,. que

Chapitre 3 LES POLYNOMES 3.1 Les objectifs Le but de ce chapitre est d’apprendre ` a e o • effectuer des op´rations dans l’ensemble des polynˆmes, • utiliser la loi du reste dans la factorisation des polynˆmes, dans la simplification des fractions o rationnelles et dans la r´solution d’´quations, e e • utiliser la m´thode des coefficients ind´termin´s lors de la r´solution de certaines applications. e e e e 3.2 3.2.1 Vocabulaire(Rappels) Monˆmes o  e  a est un coefficient r´el (a ∈ IR);

de u  U dans la base (E1, E2, E3, E4) a −b 0 0  b c 0 0  F 0 = U =  0 0 a −b  0 F 0 0 b c 2 2 d) Le polynome caract´ristique de U est : χU (x) = x2 − α2 x − β2 = (χF (x)) e pour tout entier n , si F n = αnF + βn I alors U n = αn U + βn I donc si P est un polynome , (P (U ) = 0) ⇔ (P (F ) = 0) Or une matrice carr´e est diagonalisable si et seulement si elle annule un polynome scind´ a racines simples e e` Donc U est diagonalisable si et seulement si F est diagonalisable F est une matrice

echerch e Expression de la dérivée d'un polynôme en fonction des translatés de ce dernier et application à la distributio n de Wigner-Ville Polynomial e Expression of the Derivative of a Polynomial in Term s of its Shifted Versions and Application to the Polynomial Wigner-Ville Distribution par Messaoud BENIDI R Univ. Paris-Sud, Laboratoire des Signaux et Systèmes, Supelec Plateau de Mouton, 91192 Gif-sur-Yvette, France tel : (1) 69 851717 fax : (1) 69 41 30 60 e-mail : benidir@lss .supelecfr