Polynôme caractéristique

. 3 1.2 Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Division euclidienne 5 1.2.3 Théorème de Weierstrass 1.3 Polynômes de Lagrange 1.4 Polynômes de Newton 1.5 * Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014 Enoncés 1 Polynômes Polynômes complexes L’anneau des polynômes Exercice 6 [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 03342 ] [correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈

second degré -I- Polynôme : définition : Exemples : On appelle polynômes une expression de la forme axn+bxn−1+cxn−2+dxn−3+⋯+αx2+βx+γ où a, b, c,d, ..., α , β , γ sont des réels donnés appelés coefficients du polynôme et x est un réel variable. Le plus grand exposant attribué à la variable x, ici n, est appelé degré du polynôme. x4+3 x2+1 est un polynôme de degré 4, 5 −0 5 x 4 est aussi un polynôme de degré 4 dans ce cas on l'appellera monôme de degré 4, −2 x+3 est un polynôme de degré 1, x4+

en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point，c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition

RESOLUTION de L'EQUATION SANS SECOND MEMBRE (II). On forme l'équation du second degré appelée équation caractéristique ar 2 + br + c = 0 ( IIc ) 1. ∆ = b 2 − 4 ac > 0 L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r1 = −b + ∆ −b − ∆ et r2 = 2a 2a La solution générale de (II) est r x ySG ( II ) = C1e 1 + C2e r2 x avec ( C1 , C2 ) ∈ R 2 2. ∆ = b 2 − 4 ac = 0 L'équation caractéristique admet une racine réelle double Equations différentielles linéaires du 2ème ordre. U.M.N. 13.

4 2. Trouver l'autre racine (en valeur exacte). Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur  par P(x) = (x +1) – (4x + 2) . 2 2 2 1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré. 2. Résoudre l'équation P(x) = 0. Exercice 4 (2 points) Soit P la fonction polynôme définie sur  par : P(x) = a x 2 + bx + c (avec a ¹ 0) Démontrer que : Si a et c sont de signes opposés alors P admet au moins une racine réelle Exercice 5 (4 points) Résoudre l'inéquation

[http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 [ 02131 ] Polynôme en une indéterminée L'anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d'inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d'inconnue P ∈ K [X]. [ 02127 ] Exercice 7 X MP Déterminer dans K [X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Exercice 8 [ 02132 ] Soit P ∈ K [X]. Montrer que P (X + 1) = +∞ n=0 1 (n) (X). n! P Arithmétique des polynômes Exercice 9 2 Exercice 2 Mines-Ponts MP

Existence et unicité Définition 3.1 On dit que f : D ⊂ R → R admet un développement limité à l’ordre n - en abrégé un DLn - en 0 si : f (x) = P (x) + o (x n ), où P est un polynôme de degré au plus égal à n. Proposition 3.1 (Unicité du DL) Si f : D ⊂ R → R admet un DLn en 0, il est unique. Si il existe, l’unique polynôme P tel que : f (x) = P (x) + o (x n ) est appelé « partie régulière » du DLn de f en 0. Corollaire 3.0.1 Si f : D ⊂ R → R est paire (resp. impaire) au voisinage de 0, et admet

a1,...,an des réels (an≠0). Une fonction polynôme (ou un polynôme) est une fonction P définie sur R qui peut s'écrire pour tout réel x sous la forme unique : P(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0 L'entier n est le degré de P. Les réels a0,a1,...,an sont les coefficients de P. Le polynôme nul (tous ses coefficients sont nuls) n'a pas de degré. La fonction P définie pour tout réel x par P(x)=3x4−x2+10x−5 est un polynôme de degré 4. Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients

S - EQUATIONS DE DEGRE 3 ET 4 ; RACINES D’UN POLYNOME MESURANT LES COTES D’UN TRIANGLE Equations de degré 3 Soit P (X) = X 3 + bX 2 + cX + d un polynôme de degré 3 à coefficients réels. On peut écrire P (X) = Q X + où Q(X) = X 3 + pX + q b2 bc 2b3 et q = d − + . 3 3 27 Il suffira de savoir calculer les racines de Q pour obtenir celles de P . p=c− Si l’on pose X = x+y, on trouve Q(X) = x3 + y 3 + (3xy + p)(x + y) + q , et donc, si (x, y) est solution du système (S) le nombre x + y est racine de Q. Inversement