Polynôme caractéristique

fonction de Dk , puis calculer M k . Correction [002580] 1 2 Partiel Exercice 4 Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est   −3 −2 −2 1 2 A= 2 3 3 2 1. Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de A. 2. Démontrer que les valeurs propres de A sont −1 et 2. Déterminer les sous-espaces propres associés. 3. Démontrer que A est diagonalisable et donner une base de R3 dans laquelle la matrice de u est diagonale. 4. Trouver une matrice

endomorphismes 1 Réduction des endomorphismes Proposition 4 : Kerϕ : ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de K[X]. Imϕ = K[u] est une sous algèbre de (E). Si dim E est fini alors u admet un polynôme minimal. Table des matières 1 2 Sous espaces stables par un endomorphisme Polynôme d'endomorphisme ou de matrice 1 1 2.1 Polynôme d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Valeurs propres, vecteurs propres

 I. Sous espace vectoriel stable – Polynôme d’endomorphisme 1. Sous espace vectoriel stable (SEV) Définition : sous espace vectoriel de . On dit que est stable par si . Conséquence : Si et stable par . On définit l’induit de sur  : Exemples fondamentaux et sont stables par  : , , , alors stable par , Montrons que  : Donc , et base de  : stable par car : Proposition : Soit un SEV de E. Si et . Soit base de . Soit base de (TBI). Alors s’appelle une base de

[pic] 2) Le déterminant de A : [pic] 3) Le polynôme caractéristique de A : [pic] 4) Le spectre de A :[pic] [pic]Ces attributs permettent entre autre de calculer systématiquement [pic] Exemple [pic] [pic] PROPRIETE (Théorème de Cayley-Hamilton appliqué au cas 2[pic]) O est la « matrice nulle » : [pic]I est la « matrice identité »: [pic] Pour la matrice [pic]on a toujours: [pic] « On remplace [pic]par la matrice A dans le polynôme caractéristique de A » Conséquence [pic] Exercice 1)

2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A − xI2 ). Ici pA (x) = det A = 1 2 x 0 − 2 1 0 x = det 1−x 2 2 1−x = (1 − x)2 − 2 · 2 = x2 − 2x − 3. 2. Valeurs propres de A : ce sont les racines de pA (x) : ici √ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ± 1 + 3, donc nous

surjective l’ensemble des parties de l’ensemble E l’ensemble des fonctions de X dans Y la partie entière du réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An

transmettre en paquets courts. Pourquoi la répétition n'est-elle pas une bonne idée ? 16. : Code polynomial Soit le code linéaire C3,2 de matrice génératrice [pic] a. Montrer qu'il s'agit d'un code polynomial b. Donner les matrices génératrices caractéristique et normalisée (forme systématique) du code. c. Décrire tous les codes polynomiaux C3,2 17. : Code polynomial Soit C un code polynomial obtenu par codage systématique, de générateur : g(x) = x3+x2+x+1 a. Donner la longueur de la clé de

points au niveau du ravin qui ne peuvent pas être exploités. Puis nous diviserons l'étude en deux parties: dans un premier temps nous calculerons les polynomes gràce aux points utiles bruts en variant leurs degré de 4 à 8. ces polynomes permettront de minimiser le terrassement et donc de déplacer le moins de matériau possible. Lorsque ces polynomes seront calculés nous pourrons alors les appliqués sur les points du ravin afin de prévoir la forme du pont. Nous choisirons le tracé qui présente les

on va la revoir dans l’intersection des 3 Plans. 2 Chapitre 2 : Diagonalisation de A. Dans ce chapitre on aura 5 points importants: 1. Polynôme Caractéristique. 2. Sp(A) ou les valeurs propres de A. 3. Sous Espaces Vectoriels Propres de A ou les vecteurs propres. 4. A est diagonalisable ?!! Diagonalisé A. 5. Applications. 2 2.1 Polynome Caractéristique PA (X): PA (X) = det(A 1 1 1 2 1er exemple A = @ 1 2 1 A : 2 1 1 1 X 1 PA (X) = det(A XI) = 2 XI) 0 1 2 1 L1 L2 L3 2 1 X 1 X Comme

invariants par q. Séquence 2 Vecteurs de l’espace Activité6 On note W l’ensemble des vecteurs de l’espace On considère le dessin ci-contre qui est une partie de l’armoire consigne1 1) Définis un vecteur de l’espace (E) 2) Détermine les caractéristiques du vecteur
  3) construire le point P tel que AP =2AB +AE 4) Construire IJ + JK. En déduire que IJ +JK = IK, comment appelle-t-on cette relation. Consigne2 Tu considères le dessein de l’armoire 3 1) Ecris