Polynôme caractéristique

tout A, B ∈ Mn (K), f (AB) = f (A)f (B) Montrer que A ∈ Mn (K) est inversible si, et seulement si, f (A) = 0. [ 00707 ] [correction] ∞ Soit S(x) = an xn le développement en n=0 N a) Pour N ∈ N, on pose SN = an xn et n=0 (SN (x))2 − 1 − x est un polynôme dont la Exercice 4 série entière de x → +∞ √ 1 + x. RN = n=N +1 an xn . Montrer que plus petite puissance de x est de degré est une base de C(A). N + 1. b) Soit A ∈ Mn (C) nilpotente. Justifier l’existence d’une matrice

1-1 : Comme une interro… 1-2 : Lecture graphique et interprétation 1-3 : Construction géométrique parabole 1-4 : Vrai/Faux sur les fonctions 1-5 : Vrai/Faux sur les dérivées 1-6 : Dérivées et variations 1-7 : Lecture graphique 1-8 : Tangente 2. Polynômes 2-9 : Second degré 1 (c) 2-10 : Second degré 2 (c) 2-11 : Second degré 3 (c) 2-12 : 3ème degré 3 (c) 2-13 : Ficelle (c) 3. Fonctions rationnelles 3-14 : Hyperbole 1 (c) 3-15 : Tangente (c) 3-16 : Rationnelle 1 (c) 3-17 : Rationnelle 2 (c) 3-18 :

interro… 1-2 : Lecture graphique et interprétation 1-3 : Construction géométrique parabole 1-4 : Vrai/Faux sur les fonctions 1-5 : Vrai/Faux sur les dérivées 1-6 : Dérivées et variations 1-7 : Lecture graphique 1-8 : Tangente 2. Polynômes 2-9 : Second degré 1 (c) 2-10 : Second degré 2 (c) 2-11 : Second degré 3 (c) 2-12 : 3 ème degré 3 (c) 2-13 : Ficelle (c) 3. Fonctions rationnelles 3-14 : Hyperbole 1 (c) 3-15 : Tangente (c) 3-16 : Rationnelle 1 (c) 3-17 : Rationnelle

À COURANTS PORTEURS CARACTÉRISTIQUES GÉNÉRALES COMMUNES À TOUS LES SYSTÈMES ANALOGIQUES À COURANTS PORTEURS CARACTÉRISTIQUES INDIVIDUELLES DES SYSTÈMES TÉLÉPHONIQUES INTERNATIONAUX À COURANTS PORTEURS SUR LIGNES MÉTALLIQUES CARACTÉRISTIQUES GÉNÉRALES DES SYSTÈMES TÉLÉPHONIQUES INTERNATIONAUX HERTZIENS OU À SATELLITES ET INTERCONNEXION AVEC LES SYSTÈMES SUR LIGNES MÉTALLIQUES COORDINATION DE LA RADIOTÉLÉPHONIE ET DE LA TÉLÉPHONIE SUR LIGNES EQUIPEMENTS DE TEST CARACTÉRISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION

Mercredi 14 février 2007 Projet d’Electronique : L’intégrateur Etude d’un montage à Amplificateur Opérationnel en régime linéaire par la simulation I. II. Qu’est-ce qu’un AOP ? Ses caractéristiques, ses utilisations Le montage intégrateur théorique – Cas de l’AOP idéal 1.Analyse mathématique du circuit : réponse temporelle et réponse harmonique 2.Les imperfections de l’AOP et leurs conséquences 3.Simulation du circuit théorique et observation de la dérive de l’intégrateur 4.Remédiation à

CANONIQUE DU TRINÔME 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trinôme du second degré Définition 1 : On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P(x), à coefficients réels, de la forme : P(x) = ax2 + bx + c avec a 6= 0 Remarque : Le coefficient a est parfoit appelé le coefficient quadratique. Exemple : Les trois polynômes suivants sont des trinômes : P1(x) = x2 + 2x − 8 , P2(x) = 2x2 + 3x − 14 , P3(x) = −x2 + 4x − 5 1.2 Quelques exemples de formes canoniques La forme canonique

[−2], . . . y0 [−n]. 12 / 49 Systèmes linéaires en temps discret I Réponse entrée-nulle Terminologie A(γ) : polynôme caractéristique ; A(γ) = 0 : équation caractéristique ; γ1 , γ2 , . . . , γn : valeurs caractéristiques, ou valeurs propres ; k k k γ1 , γ2 , . . . , γn : modes caractéristiques, ou juste modes ; La réponse y0 [k] est une combinaison linéaire de modes caractéristiques. 13 / 49 Systèmes linéaires en temps discret I Réponse entrée-nulle Exemple On résolut y [k] − 0,2y [k − 1]

log * int / = < sqrt etc. :R x R → R :R→ R : R x R → Booléens : R x R→ R Axiomes corps ordonné x x (y + z) = x x y + x x z etc. 78 Implémentation (standard IEEE) x = ( -1 )s . 2 signe E - 127 . UMLV © 1,F mantisse caractéristique 8 9 10 S 012 E 0,8 = (-1)0 . 2 126-127 F 31 . 1,10011001100 … 2 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0,75 = (-1)0 . 2 126-127 . 1,100 … 2 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Valeurs et vecteurs propres Soit A une matrice carrée, A ∈ R n*n . Les valeurs propres λ i de cette matrices (appelées aussi valeurs caractéristiques) sont les racines de l’équation polynomiale : det( A − λ i I) = 0 L’ensemble des valeurs propres d’une matrice constitue son spectre. Patrice Wira - 25 - 1999 Les vecteurs propres (ou vecteurs caractéristiques) v i de cette matrices se déduisent de la définition suivante : Av i = λ i v i Comme le système est indéterminé, les vecteurs propres

étudiées en Seconde permettent d’avoir une première réponse à cette question. Travaux Pratiques TP 1 Allers et retours O b j e c t i f : faire le lien entre les résultats algébriques sur le second degré et la représentation graphique des fonctions polynômes de degré 2. Dans la partie A , on résout un certain nombre d’équations et d’inéquations, en interprétant graphiquement les résultats. Dans la partie B , on construit deux familles de paraboles (chacune ayant un coefficient que l’on peut modifier)