Polynôme minimal

Chapitre 3 LES POLYNOMES 3.1 Les objectifs Le but de ce chapitre est d’apprendre ` a e o • effectuer des op´rations dans l’ensemble des polynˆmes, • utiliser la loi du reste dans la factorisation des polynˆmes, dans la simplification des fractions o rationnelles et dans la r´solution d’´quations, e e • utiliser la m´thode des coefficients ind´termin´s lors de la r´solution de certaines applications. e e e e 3.2 3.2.1 Vocabulaire(Rappels) Monˆmes o  e  a est un coefficient r´el (a ∈ IR);

de u  U dans la base (E1, E2, E3, E4) a −b 0 0  b c 0 0  F 0 = U =  0 0 a −b  0 F 0 0 b c 2 2 d) Le polynome caract´ristique de U est : χU (x) = x2 − α2 x − β2 = (χF (x)) e pour tout entier n , si F n = αnF + βn I alors U n = αn U + βn I donc si P est un polynome , (P (U ) = 0) ⇔ (P (F ) = 0) Or une matrice carr´e est diagonalisable si et seulement si elle annule un polynome scind´ a racines simples e e` Donc U est diagonalisable si et seulement si F est diagonalisable F est une matrice

echerch e Expression de la dérivée d'un polynôme en fonction des translatés de ce dernier et application à la distributio n de Wigner-Ville Polynomial e Expression of the Derivative of a Polynomial in Term s of its Shifted Versions and Application to the Polynomial Wigner-Ville Distribution par Messaoud BENIDI R Univ. Paris-Sud, Laboratoire des Signaux et Systèmes, Supelec Plateau de Mouton, 91192 Gif-sur-Yvette, France tel : (1) 69 851717 fax : (1) 69 41 30 60 e-mail : benidir@lss .supelecfr

points au niveau du ravin qui ne peuvent pas être exploités. Puis nous diviserons l'étude en deux parties: dans un premier temps nous calculerons les polynomes gràce aux points utiles bruts en variant leurs degré de 4 à 8. ces polynomes permettront de minimiser le terrassement et donc de déplacer le moins de matériau possible. Lorsque ces polynomes seront calculés nous pourrons alors les appliqués sur les points du ravin afin de prévoir la forme du pont. Nous choisirons le tracé qui présente les

Irrationalité de Pi Historique C'est en 1761 que Lambert démontra le premier l'irrationalité de : Sa démonstration, très différente de celle présentée ici, reposait sur la décomposition en fractions continues de tan x. Il faudra attendre 1882 pour que Lindemann démontre la transcendance de ; prouvant du même coup l'impossibilité de la quadrature du cercle. Notations 1 Pour tout entier n strictement positif, on considère la fonction pn dé nie par pn (x) = n! Z + =2 et on s'intéresse à l'intégrale

 CHAPITRE : Fonction trinome ou polynome du second degrés I] Etude de la Fonction trinome ou polynome du second degrés : A] Définition « fonction trinome ou polynome du second degré » Une fonction trinome du second degrés ou une fonction polynome du second degrés est une fonction qui est défini pour x ℯ ]-∞ ; +∞[ et qui à plusieurs formes : - La forme dévellopé (termes ordonnés) : f(x) = ax²+bx+c . Le coéfficiant de x « b » et le terme constant « c » peuvent être nul

représenté comme suit. 1)Détermine en fonction de x l’expression C2 (x), longueur du côté [HE]. 2)Comment appelle-t-on ce polynôme C2(x). 3Donner deux exemple d’un polynôme du second degré b) En déduire la forme générale d’un polynôme du second degré. Activité 2 : Soit P(x) = ax2+bx+c, a ≠0, (b, c) € R2, un polynôme du second degré. Consigne1 1)Ecrire P(x) sous forme canonique. 2)On pose Δ = b2 – 4ac (le réel Δ s’appelle discriminant de P(x). a)Déterminer suivant le

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES Cours 39 POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES I. DEFINITIONS 1. Monôme 2. Polynôme 3. Equation algébrique 4. Zéro d’un polynôme II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES 1. Identité de deux polynômes 2. Addition de deux polynômes 3. Multiplication de deux polynômes 4. Multiplication d'un polynôme par un scalaire 5. Division de deux polynômes suivant les puissances décroissantes (Euclidienne) 6. Division Euclidienne par un polynôme de degré 1 7. Division

fonction définie sur IR qui peut s’écrire sous la forme : : ⟼ ² avec , On dit que ² du second degré. et réels et 0. est un polynôme du second degré ou un trinôme Exemple : Soit , , et j les fonctions définies sur IR par : ², où, avec les notations de l’encadré précédent, une fonction polynôme du second degré. 3 ² – 5 2, 1 et est donc 0. où, avec les notations de l’encadré précédent, 3 , 5 et 2. 1 3 – ) On prouve en

Son polynôme de rétroaction f est le polynôme de F2 [X ]: f (X ) = 1 + c 1 X + c 2 X 2 + · · · + c L X L . On peut alors écrire le développement en série formelle de la suite (s n )n≥0 sous forme d’une fraction rationnelle. 18 Proposition 2 La suite (s n )n≥0 est produite par un LFSR dont le polynôme de rétroaction est f (X ) = 1 + c 1 X + c 2 X 2 + · · · + c L X L si et seulement si son développement en série formelle s(X ) = n≥0 s n X n s’écrit g (X ) f (X ) où g est un polynôme de F