Polynôme symétrique

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions :

2 1.1 Algèbre .......................................................................................................... 2 1.2 Équations ...................................................................................................... 3 1.3 Polynômes et fractions rationnelles .......................................................... 6 1.4 Nombres complexes.................................................................................... 9 1.5 Analyse ......................................

Chapitre 1 : Second degré. I. Fonction polynôme de degré 2. Définition : Soit une fonction définie sur par où a, b et c sont des réels tels que a 0. Cette fonction est appelée fonction polynôme de degré 2. Exemple : • est une fonction polynôme de degré deux car elle s’écrit sous la forme de Où ici a = 1 ; b = 6 ; c = 12 • est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 2 ; b = 5 ; c = -3 Proposition : Soit une fonction définie comme précédemment. Alors sa courbe représentative est une

 x 2 + 4 x - 5. On a vu en seconde que la représentation d’une fonction polynôme de degré 2 est une courbe appelée parabole. Cette parabole peut être orientée vers le haut (si a > 0) ou vers le bas (si a < 0). Parabole orientée vers le haut Parabole orientée vers le bas 3/ Inéquations du second degré On dit que - 1 et 3 sont les solutions de l’équation x 2 - 2 x - 3 = 0. On dit que - 1 et 3 sont les racines du polynôme x 2 - 2 x - 3. Exemple: résoudre x 2 - x - 6 0 On commence par chercher les

l'égalité 17 IV.2.e. Troisième étape : minoration17 IV.2.f. Quatrième étape : majoration18 V. Transcendance de π21 V.1. Préliminaires21 V.1.a. Propriétés des nombres algébriques 21 V.1.b. Polynômes symétriques22 V.2. Démonstration de la transcendance de π24 V.2.a. Formule d'Euler24 V.2.b. Définition d'un polynôme à coefficients entiers24 V.2.c. Un multiple de p.26 V.3. Une égalité impossible29 V.3.a. Minoration du terme de gauche 29 V.3.b. Majoration du terme de droite 30 V.3.c. Conclusion31

Structures algébriques     Lois de composition interne Groupes Anneaux Corps Chapitre 3 : Arithmétique dans Z     Division euclidienne dans Z PGCD Nombres premiers Congruences Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles  Définition formelle des polynômes  Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…  Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi, développé par d’autres exemples, d’autres résultats,…, donc

sur son domaine. – Une fonction admet une réciproque sur son domaine de définition si et seulement si elle est bijective, c.à.d. si elle passe le test de la droite horizontale. – Dans un repère orthonormé les graphes des fonctions f et f −1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice. y y=x f −1 f J = f (I) I x 7.5. Fonctions croissantes, décroissantes Définition 7 Soit f : U → R une fonction. On dit que : – f est croissante sur U si ∀ x, y ∈ U x y =⇒ f (x) f (y) – f est strictement

- 8,91666666.., Exo 4 Nota : La notion de réciprocité est très importante en mathématique : si y=f(x) on a x= fonction réciproque de (y). Par exemple la fonction racine carrée a pour réciproque de la fonction carré. Par contre, cette notion de « polynôme réciproque » est une simple « curiosité». 1a) J’ai écrit « @ » au lieu de « alpha » pour prendre moins de place. Si @ est non nul, alors on a : @ à la puissance n qui est non nul. Donc si f(@) = 0, c’est que : f(1/@) = 0 1b) si n est impair,

t A avec ρ le rayon spectral. En particulier pour la norme 2, on a la relation : Propriétés : - 2 ( ) AX ≤ A . X et AB ≤ A . B Cas de A symétrique : Dans le cas général, A A 2 2 = ρ ( A) = max λi i = µ max , maximum des valeurs singulières µ i = λi avec λi les valeurs t propres (positives) de la matrice symétrique A - A . (?) Soit A une matrice carré quelconque n x n. Pour toutes normes de matrice induite, on a ρ ( A) ≤ A . Conditionnement d’une matrice

propriété suivante : t(AB) = tB tA. Soit A ∈ Mn (K). A est dite triangulaire supérieure si ∀(i, j) j < i ⇒ aij = 0 et triangulaire inférieure si ∀(i, j) i < j ⇒ aij = 0. On dit que A est diagonale si i = j ⇒ aij = 0. Une matrice A ∈ M(K) est dite symétrique si A = tA et antisymétrique si A = −tA. On note Gln (K) le groupe des matrices inversibles. Mn (K) est un anneau non commutatif et non intègre. Une matrice extraite de la matrice A est une matrice obtenue à partir de A en supprimant certaines lignes