Polynôme symétrique

DEGRE I. FONCTIONS POLYNOMES 1° Définitions Une fonction polynôme est une fonction P de ℝ dans ℝ définie par : P(x) = a n x n + a n -1 x n -1 + ... + a 1 x + a 0 Les nombres a0, a1, ... , an sont des nombres réels appelés les coefficients de P. Un polynôme est nul pour tout x si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Le plus grand entier n tel que an ≠ 0 est appelé le degré de P. On le note deg (P). On dit alors que P est de degré n. 2° Egalité de deux fonctions polynômes P = Q signifie

x − 3 y =  z = − ( x + y)   6 x + 3y = 0  b) M admet trois vecteurs propres linéairement indépendants : elle est donc diagonalisable. ou dim E − 3 + dim E 3 = 2 + 1 = 3 = dim þ 3 ; M est diagonalisable. ou M est une matrice carrée réelle symétrique, donc elle est diagonalisable. Il existe alors une matrice carrée inversible P d’ordre 3 telle que M = P D P −1 , avec 0 0 1 2 − 1 − 3  1 0 5      1  −1 D =  0 − 3 0  , P =  0 1 − 2  et P =  2 2 2 . 6  0 −1 2 0 3 1 1  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Inégalités classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 TABLE DES MATIÈRES 4 Chapitre 1 Second degré 1 Forme canonique Soit un polynôme du second degré : p(x) = ax2 + bx + c avec a = 0 Sa forme canonique est : p(x) = a x+ b 2a 2 − b2 − 4ac 4a2 On pose ∆ = b2 − 4ac appelé le discriminant Exemple : Déterminer la forme canonique de p(x) = 2x2 + 3x − 14 3 p(x)

suivantes : n 2 3 4 5 erreur 2.2204.10−16 2.2204.10−16 2.7362.10−8 1.913.10−8 On a également tracé la différence entre la solution de la résolution numérique et la solution exacte. Pour n = 3 on a obtenu le graphe dans la figure 1. L’erreur est symétrique x 10 2 0.8 −16 1 0.6 1.5 0.4 1 0.2 0 0.5 −0.2 0 −0.4 −0.6 −0.5 −0.8 −1 −1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F IG . 1 – Erreurs de discrétisation pour n=3 par rapport à la droite x = y, ce qui est logique

.17 Le tableau de Thrithémius..........................18 PROCEDES ACTUELS..............................21 Cryptographie asymétrique.........................22 exemple R.S.A. ..............................................25 Cryptographie symétrique...........................27 exemple D.E.S. ..............................................30 exemple hashage.............................................32 Cryptographie hybride...................................35 APPLICATIONS ACTUELLES

Annexe A Alg`bre Matricielle e A.1 Introduction Comme tous ceux qui ont ´tudi´ l’´conom´trie ou une quelconque autre discie e e e pline math´matique le savent, la diff´rence entre un r´sultat qui semble obscur e e e et difficile, et un r´sultat qui semble clair et intuitif, provient souvent simplee ment de la notation utilis´e. Dans presque tous les cas, la notation la plus e claire rend possible l’utilisation des vecteurs et des matrices. Les lecteurs de ce livre devraient ˆtre assez familiers avec

obtenue en permutant les lignes et les colonnes de A. La 1ère ligne devient la première colonne et inversement .... t  1 2  1 2 1   exemple :  2 3      2 3 5     1 5  Une matrice égale à sa transposée est dite symétrique. 8. Parmi les matrices carrées, on trouve les matrices triangulaires où tous les éléments d'un même côté de la diagonale principale sont nuls. 1 5 2   2 0 0     ex. :  0 3 1 ou  2 3 0      10 5 2 0 0 2  et

triangulaire supérieure si les éléments éventuellement non nuls sont au-dessus de la diagonale. (c’est-à-dire si i > j aij = 0), triangulaire inférieure dans le cas contraire. 6.5. Matrice symétrique A est une matrice symétrique si elle est égale à sa transposée tA, et est antisymétrique si A = -tA. A est symétrique A = tA aij = aji (i, j) A est antisymétrique A = -tA aij = - aji (i, j) et en particulier aii = 0 7. MATRICES INVERSIBLES Une matrice carrée A d’ordre n, est inversible

 La cryptographie est la science du codage des messages à l'aide de codes secrets ou de clés. Le codage des messages vise à en assurer la confidentialité, l'authenticité et l'intégrité. Le chiffre de Vigenère est un système de chiffrement polyalphabétique, c'est un chiffrement par substitution, mais une même lettre du message clair peut, suivant sa position dans celui-ci, être remplacée par des lettres différentes, contrairement à un système de chiffrement monoalphabétique comme le chiffre de

Familles d’algorithmes cryptographiques Chiffrement symétrique Pour cette technique, l’émetteur et le destinataire du message disposent de la même clé secrète k. L’émetteur va utiliser cette clé secrète k pour chiffrer le message M. Le message chiffré est C. Le récepteur utilisera cette même clé secrète k pour déchiffrer le message chiffré C, et retrouver ainsi le message en clair M d’origine. Fig. 1 – Chiffrement et déchiffrement symétrique Source : Document Introduction à la cryptographie