Polynôme symétrique

Exercices - Matrices : corrigé Autour du produit Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE. Seules les matrices D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique. Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve : AB = 0 0 0 0 , 0 0 0 0 BA = . En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls

l’indice répété, etc. . .). Au Chapitre 4 on introduit le polynôme caractéristique pA d’une matrice carrée A, et on étudie la diagonalisation des matrices et des endomorphismes. On démontre directement au Chapitre 5 que pA (A) = 0 (théorème de CayleyHamilton) par la méthode des déterminants, on introduit le polynôme minimal qA d’une matrice carrée A, et on démontre le théorème de décomposition de Jordan : toute matrice carrée A dont le polynôme caractéristique est scindé s’écrit de manière unique sous

fonction f entre a et b par une fonction polynôme de degré 2 sur les valeurs a, b et (a+b)/2. Plus précisément, on cherche un polynôme P de degré inférieur ou égal à 2 tel que: f(a) = P(a) f(b) = P(b) . Un polynôme étant une fonction très facile à intégrer, on approche l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a,b], par l'intégrale de P sur ce même intervalle. On a ainsi, la simple formule: Démonstration : On cherche donc une fonction polynôme P de degré au plus 2 dont la courbe (une

principale sont nuls. L’ensemble des matrices triangulaires inférieures de n ( ) est noté ni ( ), on a donc : M∈ i n( ) ⇐⇒ ∀ i, j ∈ [ [1..n] i < j =⇒ Mi, j = 0. ], • Matrice symétrique : c’est une matrice qui est égale à sa transposée (elle est donc nécessairement carrée) : M = tM . L’ensemble des matrices symétriques de taille n est noté n ( ), on a donc : M∈ n( ) ⇐⇒ ∀ i, j ∈ [ [1..n] Mi, j = M j,i . ], • Matrice antisymétrique : c’est une matrice qui est égale à l’opposé de sa transposée

directes Théorème d’isomorphisme Interpolation de Lagrange Théorème du rang 9 9 10 11 Dualité 13 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Généralités Hyperplans Bases duales 13 14 16 Calcul matriciel 22 1.4.1 1.4.2 Trace Blocs 22 27 Déterminants 35 Le groupe symétrique 36 2.1.1 2.1.2 2.1.3 36 36 39 Structure de Sn Transpositions Cycles Applications multilinéaires 41 2.2.1 2.2.2 41 41 Généralités Applications multilinéaires alternées Déterminant d'une famille de n vecteurs dans une base d'un ev de dimension

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à la forme canonique n’est pas au programme de la classe de seconde, mais reconnaître la forme canonique d’une fonction polynôme de second degré donnée sous forme développée est au programme. Exemple : Soit  la fonction polynôme définie sur I = [ 5 ;5] par u 3 ² 6 1. Montrer que

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation Polynomiale 2.1 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . 2.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . 2.3 Forme de Newton . . . . . . . . . . 2.4 Polynômes orthogonaux . . . . . . 2.4.1 Polynômes de Legendre . . 2.4.2 Polynômes de Tchebychev . 2.5 Approximation par Moindres Carrés 2.6 Meilleure Approximation . . . . . . 2.7 Oscillations de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et le résultat par récurrence. Donck = (¡1)n. 3) Il faut et il su¢t que le terme dominant de Q soit (¡1)nXn : ² Si A existe on sait par le cours que le terme dominant du polynôme caractéristique est (¡1)nXn ² Réciproquement si le coe¢cient est (¡1)nXn le calcul précédent donne une matrice compagnon qui admet Q comme polynôme caractéristique en partant de P = (¡1nQ a) Les valeurs propres sont les racines de  qui se calcule par un déterminant; or le déterminant est invariant par transposition:

x→−∞ x →−∞ 1 1+ 1 x →1 = −∞ (car lim 1 + x→−∞ 1 = 1) x →0 4 Cas des fonctions polynomes et rationnelles en +∞ et en −∞ On utilise la propriété suivante (uniquement valable en +∞ et en −∞) : PROPRIÉTÉ • En +∞ et en −∞, une fonction polynome a la même limite que son terme de plus haut degré. • En +∞ et en −∞, une fonction rationnelle (c’est à dire, un quotient de deux polynomes) a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Exemples

Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655] Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format (p, q) et B une matrice de format (q, p). Comparer les polynômes caractéristiques de AB et BA. 1 Correction [005656] Exercice 7 *** I Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu. Correction