Polynôme symétrique

relations de base On sait que le comportement dynamique des structures mécaniques conservatives peut être représenté par l’équation matricielle suivante : M y(t)+ K y(t) = f(t) (2) 1 où M et K sont respectivement les matrices réelles symétriques Masse et Raideur de dimension (n , n) ; M Supposée définie positives, K non négative. f(t) représente le vecteur des forces excitatrices. En régime harmonique, f(t)=f.e , où s=j , étant la pulsation de la force excitatrice, j = -1. La

supérieure (respectivement inférieure) . III. Les matrices symétriques : Une matrice carrée A est dite symétrique si elle est égale à sa transposée : Propriétés des matrices symétriques : 1) La somme de 2 matrices symétriques est une matrice symétrique. 2) Le produit d’une matrice symétrique par un nombre est une matrice symétrique. 3) ATTENTION : Le produit de 2 matrices symétriques n’est pas toujours symétrique. IV. Les matrices semblables : Deux matrices A et B carrées

e . On appelle symétrique d'un élément a de E , lorsqu'il existe, un élément a ' de E tel que : a ∗ a ' = a '∗a = e . • • • • Lorsque cet élément a ' est unique, l 'élément a est dit symétrisable. Si la L.C.I. est associative, alors le symétrique de a , lorsqu’il existe, est unique. a ' est le symétrique de a ssi a est le symétrique de a ' . Le symétrique du composé de a par b est égal au composé du symétrique de b par celui de a : ( aTb)' = b' Ta ' . Exemples : • Le symétrique d'un élément a

        . . . . . . . .  .  . . . 0 0 0 ··· ··· 0 Cette matrice est clairement de rang 2. 3. On sait par le théorème du rang que dim ker f = n + 1 − 2 = n − 1. On a f (P ) = 0 si et seulement si X 2 − X P (1) + X 2 + X P (−1) = 0. Les polynômes X 2 − X et X 2 + X forment une famille libre de R2 [X] (ils sont non colinéaires), et P (1) , P (−1) sont des scalaires, ainsi cela équivaut à P (1) = P (−1) = 0. On en déduit que ker f = {P ∈ Rn [X] , P (1) = P (−1) = 0} = X 2 − 1 Rn−2 [X] =

préliminaires a. Montrer que si ( x1 , x 2 , ..., x m ) est solution du problème P (m, t ) alors, pour tout couple (i, j ) d’entiers distincts entre 1 et m, xi − x j est constant. b. Sans aucun calcul de déterminant, donner en le justifiant, le polynôme caractéristique de la matrice J ∈ M m ( ) dont tous les éléments sont égaux à 1. c. En déduire que si ( x1 , x 2 , ..., x m ) m −1 est solution du problème P (m, t ) , alors Γ( x1 , x 2 , ..., x m ) = (1 − t ) (1 + (m − 1)t ) .

de Maths Spé MP 1 Polynômes n n 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n ∈ N. ∀a ∈ K, P(X) = k=0 P(k) (a) (X − a)k et en particulier P(X) = k! k=0 P(k) (0) k X . k! Pour tout polynôme P et tout entier naturel k, le coefficient de Xk dans P est ak = P(k) (0) . k! 2) Racines d’un polynôme Ordre de multiplicité d’une racine. (Pour a ∈ K et k ∈ N) a est racine de P d’ordre k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X − a)k

. 3 1.2 Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Division euclidienne 5 1.2.3 Théorème de Weierstrass 1.3 Polynômes de Lagrange 1.4 Polynômes de Newton 1.5 * Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de l’information donnée par une représentation graphique. Les fonctions utilisables sont les fonctions polynômes de degré 2 En particulier, faire remarquer que la fonction carré n’est pas linéaire. Fonctions polynômes de degré ƒ Connaître les variations des fonctions polynômes de Les résultats concernant les variations des fonctions 2. degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la symétrie de leurs courbes. propriété de symétrie de leurs courbes

DIAGONALISATION EXERCICE 1. E = R3 est rapporté à sa base canonique e = {e1 , e2 , e3 }. f est l’endomorphisme de matrice M dans cette base :  1 −1 1    M =  −2 0 −1    1   −2 −2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Déterminer son polynôme caractéristique. Calculer ses valeurs propres. Donner une base des sous-espaces propres. Décider si f est diagonalisable. Donner éventuellement l’expression diagonalisée. Vérifier en utilisant les matrices de changement de base. EXERCICE

dernières années, l’article que nous étudions, propose un protocole en se basant sur le schéma d’authentification Défi/Réponse en utilisant le cryptosystème à clé symétrique Hummingbird. Pour procéder, donc, à l’authentification avec se genre de protocole, les étiquettes RFID doivent être en mesure d’exécuter les algorithmes à clé symétrique. Dans les parties qui suivent nous détaillons le fonctionnement du cryptosystème Hummingbird, ensuite nous analysons sa sécurité en se basant sur l’analyse de l’article