Produit cartésien

Niveau : Tle S Prérequis : - géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace : colinéarité, définition de droite et de plan au moyen de vecteurs directeurs, définition du produit scalaire, égalité de Pythagore (Pour l'ensemble de la leçon on se place dans un repère orthonormé. Cela est nécessaire pour les équations cartésiennes, pour le reste il suffit d'admettre l’existence d'une base) Remarque préliminaire : Il y a deux manières d'aborder la leçon : – On part de la définition vectorielle de l'orthogonalité

les opérateurs au cas des coordonnées cartésiennes. I.1 Le gradient : Définition : Soit U(x,y,z) une fonction. Sur la distance d ℓ = dx x + dy y + dz z la fonction scalaire varie de U à U + dU avec dU = ∂U ∂U ∂U dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z Par définition dU = gradU • d ℓ avec gradU = ∂U ∂U ∂U x + y + z. ∂x ∂y ∂z Conclusion : Opérateur de dérivation permettant de définir un vecteur à partir d’une fonction scalaire U : gradU = ∂U x + ∂U y + ∂U z (cartésien) ∂x ∂y ∂z Exemples : Gradient de pression

pondérés par les poids Ck, le point G unique définit par : O est un point quelconque. Produits scalaires et ainsi que l’angle a qu’ils font entre eux. On appelle produit scalaire le nombre suivant : .=xxcos(a) Propriété : Commutativité : Bilinéarité :x(a+b) = ax+bx Le produit scalaire est nul si et seulement si = ou = ou perpendiculaire. Expression de produit scalaire en coordonnées cartésiennes : Xx’ + yy’=

second degré ax2 + bx + c de discriminant δ > 0 et ses racines x1 et x2 . Calculer la somme des racines x1 + x2 et le produit des racines x1 x2 en fonction de a,b et c. On considère l’équation 2x2 + 14x − 17 = 0. Montrer que cette équation admet deux solutions et trouver sans les calculer leur somme et leur produit. Trouver deux nombres dont la somme est égale à 27 et le produit est égal à 180. EXERCICE 10 : Résoudre l’équation suivante : x3 + 3x2 − 81x + 77 = 0 0.2 Fonctions : EXERCICE 1

au poi nt A Statique Moments et couples II Vecteur moment 1 Définition M A ( F ) = AB Ù F = - F Ù AB M A (F ) Est un vecteur perpendi culaire à la fois AB et F Statique Moments et couples 1 Vecteur moment en coordonnées cartésiennes AB = r = rx × i + ry × j + rz × k F = Fx × i + Fy × j + Fz × k i M A ( F ) = AB Ù F = rx Fx j ry Fy k rz Fz = i (ry × Fz - rz × Fy ) - j (rx × Fy - rz × Fx ) + k (rx × Fz - rz × Fx ) Ir GHIRI A IEPSCF -Uccle UF: Mécanisme Statique

heures. II) Transposition de la loi de Pareto : On comprend aisément l’intérêt d’une telle loi appliquée à l’entreprise. Pour la direction générale : - 15 % des produit représentent 85% du chiffre d’affaires. - 20% des produits représentent 75% de la marge bénéficiaire. Par exemple le service entretien recherche sur une période d’une année et pour l’ensemble des machines et équipements de l’entreprise les renseignements suivant :

Exercices passage en Terminale ES Exercice 1 : fonctions affines 1. Préciser le sens de variation de la fonction f définie sur ℝ par f  x =– 7 x65 Donner le tableau de signes de la fonction f ci-dessus. 2. Préciser le sens de variation de la fonction g définie sur ℝ par g x=– 522 x . Donner le tableau de signes de la fonction g ci-dessus. 3. Déterminer une équation de la droite passant par les point A – 5; 4 et B2; –3 . 4. Déterminer l'expression de la fonction affine h x  vérifiant

connaissances humaines, telles que celles qui me sont transmises par des livres, donc, par la société à laquelle j'appartiens? Ne passent-elles pas pour les plus assurées? CONCLUSION I : II- DESCARTES ET LES LIMITES DU DOUTE A-Le doute hyperbolique cartésien. 1)Ne faut-il pas, pour parvenir à douter de tout, même de ce qui est le plus évident (comme les mathématiques et l'existence d'un monde extérieur) recourir à des artifices sans cesse plus monstrueux que les autres? 2) De plus, Descartes, quand

■ Exercice 3 (7 points) Commun à tous les candidats PA RT I E A La température de refroidissement d’un objet fabriqué industriellement est une fonction f du temps t. f est définie sur l’ensemble des nombres réels positifs et vérifie l’équation différentielle : 1 f ′ ( t ) + -- f ( t ) = 10 . 2 www.annabac.com © H A T I E R 2009 La température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps t en heures. m 1. Déterminer f ( t ) pour t 0 , sachant que pour t = 0 , la température de l’objet est

[3 ; -(/2] ; L [2 ; 3(] b. Relations entre coordonnées polaires et cartésiennes. Propriété : Soient (x ; y) et [r ; (] les coordonnées cartésiennes et polaires d’un point M. r² = x² + y² x = r cos ( cos ( = x r y = r sin ( sin ( = y r Exemples : Placer le point E de coordonnées polaires [2 ; (/3] Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ? Placer les points suivants M (3 ; 3(3) ; N (0 ; 4) ; P (-2 ; 0). Quelles