Produit de Cauchy

domaine de convergence simple d’une série entière est un disque au bord près . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Produit de deux séries entières . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Substitution d’un monôme . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Propriétés de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Domaine de convergence uniforme . . . . . . . . . . . 7.3.2 Dérivées

irrationnel par l’absurde. Supposons donc que 2 est e √ rationnel ; alors, il existerait des entiers p et q, premiers entre eux, q non nul, tels que 2 = p/q. Ceci impliquerait 2q 2 = p2 . Ainsi, 2 diviserait p2 , donc p (si un nombre premier divise un produit de facteurs, il divise l’un ou l’autre des facteurs). Ecrivons alors p = 2p ou p est un entier. La relation 2q 2 = p2 devient q 2 = 2(p )2 . Par un raisonnement analogue ` celui fait ci-dessus, 2 a divise q. Mais cela contredit l’hypoth`se que p et

factorisation LU est unique. Grace à la factorisation LU on peut calculer le determinant d'une matrice carrée avec O(n3 ) operations, vu que n det(A) = det(L) det(U ) = det(U ) = ukk , k=1 puisque le determinant d'une matrice triangulaire est le produit des termes diagonaux. La commande MATLAB det(A) exploite ce procédé. 2.1.3 Elimination avec recherche de pivot. Si au cours de l'algorithme d'élimination de Gauss on trouve un pivot nul à l'étape k , le procédé s'arrête. On peut alors permuter

| | | ------------------------------------------------- Autres branches[modifier] Symbole (TeX) | Symbole (Unicode) | Nom | Signification | Exemples | | | Prononciation | | | | | Branche | | | |  ! | Factorielle | n! est le produit : 1 × 2 × ... × n. | 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 | | | Factorielle (de) n. | | | | | Combinatoire | | | | ~ | Relation d'équivalence | | | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Théorie des ensembles | | |

soit u ∈ C 0 [a, b] C 1 ]a, b[ et u(a) = 0. Montrer qu’il existe C > 0 : u 0 ≤ C |u| 1 Ex. 12 — Soit Ω un domaine borné et régulier de Rd . On muni H01 (Ω) du produit scalaire << u, v >>1 =< ∇u, ∇v >. 1. Vérifier que H01 (Ω) muni de ce produit scalaire est un espace vectoriel préhilbertien normé. 2. Montrer que toute suite de Cauchy de H01 (Ω) est convergente dans H01 (Ω). En déduire que c’est un espace d’Hilbert. Ex. 13 — Traces,γ0 , H1 (Ω) : On considère les fonctions suivantes : u1 (x) = 2x2

d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Critère de la convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.5 Critère des équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Valeur principale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Intégrales de références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1 Intégrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.2 Intégrales de Bertrand

neutre 0 est unique. IV. On appelle produit de deux nombres complexes z1 = (a1 ; b1 ) et z2 = (a2 ; b2 ), un nombre complexe z = (a; b) tel que a = a1 :a2 b1 :b2 et b = a1 b2 + b1 a2 . On écrit : z = z1 :z2 , a = a1 :a2 b1 :b2 et b = a1 b2 + b1 a2 1. z1 + z2 = z2 + z1 commutativité de la somme ; 2. z1 :z2 = z2 :z1 commutativité du produit ; 3. (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) associativité de la somme ; 4. (z1 :z2 ) :z3 = z1 : (z2 :z3 ) associativité du produit ; 5. (z1 + z2 ) :z3 = z1 :z3 + z2

I est fini et si (pi) est séparante, alors il existe une norme sur E qui induise la topologie O. 27. On suppose ici I = N et et (pi) séparante. La distance d(x, y) = ∑ k∈N 1 2k min ( pk(x− y) , 1 ) . (1) induit la topologie O. De plus, (xn) est de Cauchy pour d si et seulement si ∀i ∈ I, sup m,n&gt;N pi(xm − xn) −−−→ N→∞ 0 . Exercice 1. Montrer les propriétés ci-dessus. On notera aussi que la topologie associée à une famille de semi-normes sur E rend continues l’addition (de E × E dans E) ainsi que

. . . . . . . 13 2.5 Limites et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.7 Suites de cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.8 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fonctions réelles de la variable réelle 17 3.1 Premières

caractéristique, on peut donc chercher une solution complexe de la forme y(x) = (αx + β)eix avec α,β ∈ C ce qui nous pousse à chercher des solutions réelles de la forme y(x) = (ax + b) cos(x) + (cx + d) sin(x) 1.5 Théorèmes généraux Théorème 1.5 de Cauchy linéaire (énoncé rigoureux, admis): Soient I un intervalle de R, a0 ,a1 ,a2 ,..,aN −1 et b des fonctions continues sur I, y0 ,...,yN −1 des réels et t0 un élément de I alors il existe une unique fonction y définie sur I telle que y (N ) + N −1 an y