Produit matriciel

HEM 1ère année, 1er semestre, Année universitaire : 2010/2011 MATHEMATIQUES ECONOMIQUES I ALGEBRE LINEAIRE Fiche synthèse n°1 Matrices - Opérations * Nous rencontrons le calcul matriciel et les systèmes linéaires dans différentes disciplines : gestion, économie, recherche opérationnelle, statistique, programmation, optimisation, informatique, logistique, modélisation de situations économiques réelles etc.… * Une matrice peut être définie comme

........................................... 6  8.  Matrice définie positive ........................................................................................................... 7  9.  Système d’équations linéaires sous forme matricielle ............................................................ 7   ........................................................................................................ 4   ou  ) ..........................................................

0 3  X : X ∈E  E 3 De manière concrète cela signifie par exemple, que le point milieu d’un segment de droite a son image au milieu de l’image du segment de droite... Communication graphique Transformation affine sous forme matricielle:  P ≡A⋅Pu , u∈ℝ 3 n n 0 0  ∑ i P i =A⋅ ∑  i P i u =∑ A⋅i P i ∑ i u =∑ i A⋅P i u =∑ i  P i  Communication graphique Quelques transformations affines identité : u = 0, A = I , I est la matrice

- Chapitre 2 Les matrices carr´ ees Table des mati` eres 1 Produit et puissance des matrices 1.1 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . 1.2 Puissances d’une matrice carr´ee . 1.3 La formule du binˆ ome de Newton 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 carr´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . matrices carr´ ees inversibles D´efinitions . . . . . . . . . . . .

DEA Environnement Marin : processus stochastiques Avner Bar-Hen Universit´ Aix-Marseille II e 2001-2002 Table des mati` res e 1 Rappels de calcul matriciel et de probabilit´ (cas discret) e 1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 D´ finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Op´ rations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Matrice identit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4 Matrice inverse . . . . . .

préféré écrire sous forme d’un tableau à n lignes et p colonnes. Ainsi, au lieu d’écrire a21 a22 np pourrait écrire (a11 , a12 , a21 , a22 ). En ce sens, on peut affirmer que Mn,p (K) = K . Cependant, nous introduirons bientôt une loi interne de produit sur les matrices, et vous verrez alors qu’il est bien pratique d’écrire les matrices comme des tableaux et non comme des familles. • L’usage veut qu’on utilise le plus possible la lettre i pour indice des lignes, et la lettre j pour indice des colonnes

trois matrices de dimension (p, n) A, B et C : A + B = C aij + bij = cij (1ip, 1jn) 4.2. Produit d’une matrice par un scalaire : Soit les deux matrices de dimension (p, n) A, B et  un scalaire (complexe ou réel) : A = B aij = bij (1ip, 1jn) 4.3. Conclusions Conclusion 1 : On peut aisément montrer que l’ensemble des matrices de dimension (p, n) muni des l’addition usuelle et le produit par un scalaire (R ou C) forme une structure d’un espace vectoriel. Conclusion 2 : Une base

Table des matières 1 Calcul matriciel 3 1.1 Dénitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . 1.2.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . 1.3 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Opérations élémentaires sur une matrice . . . 1.3.2 Application pour déterminer l'inverse d'une

d’un point sur une droite Pour ´tudier la projection orthogonale, on a besoin des d´finitions suivantes. e e ` ´ ´ 8CHAPITRE 2. ALGEBRE LINEAIRE ET REPRESENTATION DES VECTEURS Deux vecteurs x, y sont dits orthogonaux, si < x, y >= 0. ◦ Le produit scalaire de deux vecteurs x, y de Rn , not´ < x, y >, est par d´finition : e e   y1 n  .  . xi yi = (x1 · · · xn )  .  = xt y. < x, y >= i=1 yn Exemples. Soient xt = (1, 2, 3), yt = (2, 3, 4), zt = (1, 1, −1). Alors < x, y >= 20, et < x, z

Bonjour chers collègues , MP 7/04/2010 Le programme : Matrices ( début ) Le K-e.v. M_n,p(K) - La base canonique de ce K-e.v. La multiplication matricielle La K-algèbre ( M_n(K) , + , x , . ) - Les sous-algèbres usuelles de M_n(K) Matrice d’une application linéaire - Expression matricielle d’une application linéaire - Matrice carrée d’un endomorphisme – Calcul élémentaire de l’inverse d’une matrice carrée inversible ….. c’est tout pour cette colle Les colles