Produit scalaire canonique

diamètre du cercle Sylvain MATON – ORAL 2 – 14 novembre - Thème: Géométrie au collège 6/14 circonscrit, et de sa réciproque (4ème) Niveau lycée : • par la géométrie analytique en introduisant un repère orthonormé (2nde) • par les vecteurs et le produit scalaire (1ère S) • par les homothéties (BTS) Voici 3 corrigés possibles : 1 niveau 4ème, 1 niveau 1ère S et 1 niveau BTS. Dans les 3 démonstrations suivantes, on pourra utiliser ce préliminaire : AECF est un parallélogramme car AE= CF et (AE) parallèle

Produit scalaire ! ! On se place dans le plan P muni d’un repère orthonormé O; i ; j . On notera P le plan de vecteurs associés. On supposera connue la notion de vecteurs, somme de deux vecteurs, de norme de vecteur, d’othogonalité, de projection orhogonale. ! ! Dans le repère O; i ; j orthonormé, on considère A ( 2; 4) B ( 1; 4) et C (2; 2) B C O A p ! ! ! ! ! Le vecteur AB = OB OA d’où AB (1; 8) et AB = 65; de même p p ! ! ! AC (4; 6) et AC = 52 et BC = 13. On en déduit que ABC est rectangle

est défini ainsi : J W = F x AB x cos α N m °  AB est le déplacement, rectiligne, du point d’application de la force.  L’angle α est l’angle formé par les vecteurs F et AB.  Remarque : Mathématiquement, il s’agit d’un produit scalaire : W = F. AB Schéma :  On pousse de manière oblique un bloc rectangulaire d’un point A à un point B. W = F x AB x cos α Remarques :  L’angle α peut être nul, si le déplacement se fait dans le même sens que la force.  Le travail

sont nulles. a b . On écrit de 2 Vecteurs de R2 ou de R3 → − → − R Les coordonnées d’un vecteur dépendent de la base ( i , j ). On peut alors démontrer : Théorème I.1 → → Si − u et − v sont des vecteurs du plan, λ un scalaire (=un réel) alors a − → u = , b a′ − → v = b′ implique − → → u +− v = a a′ + b = b′ a + a′ b + b′ et a → λ− u =λ = b Définition I.2 λa λb Si P est un point du plan, les coordonnées

1.2.5 Lignes d’´emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.6 Cas d’un mouvement stationnaire ou permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.7 D´eriv´ee particulaire d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ´ Pb. 1.1 : Etude de l’´ecoulement potentiel autour d’un mobile cylindrique . . .

Soient A, B, C, M et N cinq points distincts du plan, v´erifiant AM 2 − AN 2 = BM 2 − BN 2 = CM 2 − CN 2 . Montrer que A, B et C sont align´es. Solution. Il existe de nombreuses mani`eres de r´esoudre ce probl`eme. Pour ceux qui connaissent le produit scalaire, la m´ethode classique consiste `a ´ecrire −−→ −−→ −−→ −−→ − → −−→ AM 2 − AN 2 = (AM + AN )(AM − AN ) = 2AI · N M − → −−→ −→ −−→ en appelant I le milieu de [N M ]. On a donc AI · N M = BI · N M d’o` u l’on d´eduit − → −→ non pas que AI = BI («

de ⃗u . Propriété 1 : - Dans un repère orthonormé, le vecteur ⃗u de coordonnées (x ; y) a pour norme ∥⃗u∥=√ x2 + y 2 - Pour tout nombre réel k, on a ∥k ⃗u∥=∣k∣×∥⃗u∥ I) Définition et 1ère expression 1. Définition 1 2 2 2 2 Définition 2 : Le produit scalaire de ⃗u par ⃗v est le nombre réel noté ⃗u .⃗v défini par : ⃗u .⃗v = (∥⃗u∥ +∥⃗v∥ −∥⃗v −⃗u∥ ) 1 2 ⃗ . AC ⃗ = ( AB 2 + AC 2 −BC 2) ⃗ et ⃗ ⃗ , alors AB Remarque : Si on note ⃗u= AB v = AC Propriété 2 : Pour tous vecteur u⃗ par v⃗ , on a que si ⃗u=

Inégalité de Poincaré en 1D : Soit a, b ∈ R, soit u ∈ C 0 [a, b] C 1 ]a, b[ et u(a) = 0. Montrer qu’il existe C > 0 : u 0 ≤ C |u| 1 Ex. 12 — Soit Ω un domaine borné et régulier de Rd . On muni H01 (Ω) du produit scalaire << u, v >>1 =< ∇u, ∇v >. 1. Vérifier que H01 (Ω) muni de ce produit scalaire est un espace vectoriel préhilbertien normé. 2. Montrer que toute suite de Cauchy de H01 (Ω) est convergente dans H01 (Ω). En déduire que c’est un espace d’Hilbert. Ex. 13 — Traces,γ0 , H1 (Ω) : On considère

1. Mesures des angles orientes Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. (O ,  , ) est le repère orthonormal direct associé au cercle trigonométrique c de centre O. La droite d, i j tangente à c en A et munie du repère (A , ) représente l'ensemble des nombres réels. j définition : Pour un réel t repéré sur la droite d, on considère le point M que l'on obtiendrait sur le cercle c par "enroulement" de

nous entoure et donc à mieux le représenter. 2) Les dimensions euclidiennes ou topologiques. La géométrie Euclidienne se traduit dans un espace euclidien qui par définition est un espace à une dimension finie, qui a des limites, muni d’un produit scalaire (opération algébrique s’appliquant au vecteur). La géométrie possède donc une dimension très vaste mais finie. Elle ne va donc pas plus loin (comme le dit sa définition) que la mesure d’angles et le calcul de distances. La dimension topologique