Produit scalaire canonique

Premi` re S e qoeirgbe qogijqer giqo vqmeo vqe bqmoieh Exercices sur le produit scalaire Exercice 1 : Sur les expressions du produit scalaire −→ −− − −→ Pour les sept figures suivantes, calculer AB · AC . Exercice 2 : Sur les expressions du produit scalaire Sur la figure ci-contre, on a tracé deux cercles de centre O et de rayons respectifs 2 et 3. 1) Calculer les produits scalaires suivants : −→ −→ − − a) OI · OJ −→ −− − −→ b) OI · OK −→ −− − −→ c) OI · OB −− −− −→ −→ d) OB · OA paul milan

Connaître et de définir divers termes appartenant au lexique vectoriel (scalaire, vecteur, vecteur géométrique, module, direction, vecteur nul, vecteur unitaire, vecteur algébrique, composante, base, base orthogonale, base orthonormée). 2) Donner une représentation graphique d’un vecteur. Vecteurs géométriques 3) Effectuer les opérations sur les vecteurs (addition, multiplication d’un vecteur par un scalaire, produit scalaire) et de connaître les propriétés de ces opérations. 4) Appliquer la

∂2 f ⎢ ⎢ ∂x2∂x ⎢∂ f ⎢ ∂y∂x ⎢ 2 ⎢∂ f ⎢⎣ ∂z∂x ∂2 f ∂x∂y ∂2 f ∂y∂y ∂2 f ∂z∂y ∂2 f ⎤ ⎥ ∂x∂z ⎥ ∂2 f ⎥ ∂y∂z ⎥ ⎥ 2 ∂ f ⎥ ∂z∂z ⎥⎦ Calculée au point P P ( ) r r ∂2 f xi x j = X ⋅ AX ∑ i , j ∂xi ∂x j Est « Produit scalaire de X avec AX « Les méthodes CLASSIQUES descendent les pentes. Elles se divisent en deux grandes familles : Méthodes à plusieurs points : pas de gradient ni de Hessien * Méthode Simplex (aussi appelée « Amibe », « Amoeba » en anglais)

! " Définition : Deux vecteurs non nuls u et v dont les directions sont orthogonales sont dits orthogonaux. On ! " ! " note u ⊥ v . Remarque : par convention le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur. Attention on n’a pas défini le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Exemple : !!!" !!!! " AD ⊥ NM 2. Interprétation vectorielle des droites et des plans de l’espace. 2.1. Les droites. Définition : Soit (d) une droite. On appelle vecteurs directeurs de (d) tout vecteurs, non

avril Problème 1: [Un exemple de structure euclidienne]1 On considère l’espace vectoriel E = Rn [X]. Pour P, Q ∈ E on pose : n P |Q = i=0 P (i)Q(i). Partie I 1. Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E. On notera P euclidienne du polynôme P associée au produit scalaire précédent. 2 la norme 2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , ..., Ln ) de E telle que Li (j) = δi,j pour tout (i, j) ∈ {0, 1, ..., n}2 . Vérifier que la famille B = (L0 , ..., Ln ) est une

17 Rappel sur le calcul vectoriel II/ RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL $ $ $ $ !$ $ $ 1/ GRANDEUR SCALAIRE( $ $%&$ ) Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité correspondante. Exemple : le volume, la masse, la température, la charge électrique, l’énergie… ) 2/ GRANDEUR VECTORIELLE( On appelle grandeur vectorielle toute grandeur qui nécessite un sens, une direction, un point d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3 2.1 Définition 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 3 4 4 2.2 Torseurs élémentaires 2.2.1 Torseur couple 2.2.2 Torseur glisseur 4 4 4 2.3 Les torseurs de la mécanique du solide parfait 2.3.1 Torseur des efforts extérieurs 2.3.2 Torseur cinématique 2.3.3 Torseur cinétique 2.3.4 Torseur dynamique 4 4 5 5 5 3 6 CINEMATIQUE 3.1 Introduction

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ). (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ = ² = 1 Réponse c 3. ⃗⃗⃗⃗⃗ (1 ;0 ;1) ⃗⃗⃗⃗⃗ (0 ;1 ;1) sont 2 vecteurs non colinéaires. Ce sont donc des vecteurs de base du plan Il faut donc que le produit scalaire du vecteur normal au plan avec ces 2 vecteurs soit nul. A(0 ;0 ;0) : ce ne peut donc être l’équation a. Dans l’équation b : le vecteur normal est ⃗ (1 ;-1 ;1). Mais ⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 + 1 = 2 Dans l’équation c : le vecteur normal est ⃗ (-1 ;1 ;1)

. . . . Révision 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 4.1 : Les caractéristiques d’un vecteur . . . . . . Section 4.2 : Les opérations sur les vecteurs . . . . . . . Section 4.3 : Combinaison linéaire et produit scalaire Chronique du passé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Banque de problèmes . . . . . .

PRODUIT SCALAIRE DANS E I) Généralités: YOUSSEFBOULILA Une unité de longueur est fixée dans tout ce cours, le cm. par exemple 1) Définition: On retiendra:   On appelle produit scalaire des deux vecteurs A B et AC de E ,   le réel noté: A B . AC       Si AB  0 ou AC  0 Alors AB. AC  0   défini par:     Si non AB. AC  AB  AC  cosAB, AC      , n’est pas orienté, sa mesure en radian est un réel de l’intervalle: 0; Remarque: L’angle  AB , AC   