Produit scalaire canonique

calaire dans l'espace Correction du DM Ch4 : Géométrie - Produit scalaire dans l’espace Exercice 1 (6 points) [pic] 1) a) Calculer les produit scalaires : [pic] et [pic]. Par Chasles [pic] (AD) est perpendiculaire au plan (CDH) d’où (AD) est perpendiculaire à (CH) et[pic] Par projection orthogonale de [pic]sur (DH) : [pic]. Par projec. orthogonale de [pic]sur (HG):[pic]= –1 Finalement [pic]= 0. (0,75 pt) De même [pic]= [pic] =[pic] (0,75 pt)

vecteurs, c'est la somme du premier et de l'opposé du second. Produit ou quotient d'un vecteur par un nombre Le produit ou le quotient d'un vecteur par un nombre est un vecteur de même direction et de longueur multipliée ou divisée par ce nombre. Si le nombre est négatif on change le sens du vecteur. Il est également possible de multiplier deux vecteurs entre eux: c'est le produit scalaire que nous verrons en première. Par contre il n'est pas possible de diviser deux

universitaire 2010/1   Série sur les tableaux    Exercice n°1:.  Ecrire un algorithme qui calcule la somme et le produit des éléments d’un tableau de réels, en effectuant un seul parcours du tableau. Exercice n°2:. Ecrire un algorithme qui recherche le plus grand et le plus petit élément d’un tableau d’entiers.   Exercice n°3:. Ecrire un... algorithme qui calcule le produit scalaire de deux vecteurs d'entiers U et V (de même dimension).  Exemple:  ( 3 2 -4 ) * ( 2 -3 5 ) = 3*2+2*(-3)+(-4)*5

PUISSANCE D'UN POINT PAR RAPPORT À UN CERCLE UNE PROPRIÉTÉ C est un cercle de rayon R et de centre O. I est un point quelconque du plan. Une droite D passant par I coupe le cercle C en deux points A et B. ® ® Il s'agit de démontrer que le produit scalaire IA . IB est indépendant de la droite D. ® ® 2 2 On considère le point A' de C diamétralement opposé à A. Démontrer que IA . IB = IO – R Cet invariant remarquable est appelé la puissance du point I par rapport au cercle C. APPLICATION D'un point

Espaces m´triques (en fait evn) e Exercice 1. Ouverts disjoints ◦ ◦ Soient U, V deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U et V sont disjoints. e Donner un contrexemple lorsque U et V ne sont pas ouverts. Exercice 2. A ouvert disjoint de B Soient A, B deux parties d’un espace vectoriel norm´ disjointes. Si A est ouvert, montrer que A et B sont disjoints. e ◦ Exercice 3. U = U . ◦ Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U = U . e Exercice 4. Fronti`re

fonction, sur un intervalle. Dérivée des fonctions x x 3 semaines x a a, x a x, x a x ², x a x3 , x a cos x, x a sin x, x a ln x, x a e x , x a eax 1 dérivée de la fonction x a l’intervalle ne contenant pas 0. x Dérivée d’une somme, d’un produit par une constante, d’un inverse et d’un quotient. Application à l’étude du sens de variation d’une fonction : si la fonction f admet une dérivée nulle sur l’intervalle I, alors la fonction 6 semaines f' f est constante sur cet intervalle

III - C Application Du produit scalaire 1) Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal Soit vec u (x;y) dans un repère orthonormal(O;vec i;vec j ) Le vecteur vec i a pour coordonnées (1;0) donc vec u .vec v = xx'+ yy' = x * 1 + 0*y = x le vecteur vec j a pour coordonnées (0;1) donc vec u. vec j = y newline Dans un repère orthonormal ( O ; vec i ; vec j ), un vecteur vec u a pour coordonnées( vec u .vec i ; vec u . vec j ) Ex : si on a vec u. vec i = 3 et

Montrer que (AB, AD) + (DA, DC) + (CD, CB) + ( BC, BA) = 0 + 2πZ. e Indication : utiliser la relation pr´ c´ dente pour chaque angle de la somme. e e c) Dans le quadrilat` re ci-dessous, calculer l’angle (AD, AC). e A D B C Exercice 3: Produit scalaire (20mn) ` Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que AB = 2AC. Soit D le sym´ trique de C par rapport a A, et K le point e tel que AK = 1 AB. On notera l la distance AC. 4 a) Faire une figure. b) Prouver que (CK) ⊥ (BD). On pourra faire intervenir

vérifie zB '= ( 2 − 2i )( −4 + 2i ) + 1 = −3 + 12i = −3 ( 1 − 4i ) . b. Pour montrer que les droites (CB’) et (CA) sont orthogonales, il suffit de montrer que les vecteurs CB '−4 + 8i ) et CA ( 2 + i ) sont orthogonaux. ( Attention, pour parler de produit scalaire il faut revenir aux coordonnées cartésiennes. On a donc CB ' −4 8 2 1 1 5 et CA et on vérifie bien que CB ' = 0 . .CA Les droites (CB’) et (CA) sont bien orthogonales. 3. Soit M d’affixe z = x + iy où on suppose que x et y sont des

Exercice 1 : 1) Montrer que l’équation : 4X2 + 7X – 2 = 0 admet (-2) comme racine. En déduire l’autre racine. 2) En déduire : a) la résolution de l’équation : 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ; b) la résolution de l’inéquation : 3 – 2 x < 0 4x2 + 7x – 2 Exercice 1 : On considère un segment AB tel que AB = 6 cm 1) Justifier l ‘existence du point G barycentre de (A