Produit scalaire canonique

coordonnées en vérifient l'équation... Ensuite, comme nous travaillons dans un repère orthonormé alors un vecteur normal du a    plan P d'équation a.x + b.y + c.z + d = 0 est n  b  . c   3. La dernière phase : un produit scalaire de deux manières Le produit scalaire n.AH peut se calculer de deux manières : Avec les coordonnées car nous évoluons dans un repère orthonormé :  a   xH − xA     n.AH =  b  .  yH − y A  = a × ( x H − x A ) + b × ( y H − yA ) + c × ( z H − z A

réseau de neurone, de l’extérieur X Vecteur d’intrant du réseau, ou d’une manière locale, vecteur d’intrant d’une couche du réseau. xi i-ème élément du vecteur d’intrant X Y Vecteur de sortie du réseau, ou d’une manière locale, vecteur de sortie produit par une couche du réseau. yi i-ème élément du vecteur de sortie Y wi Poids du i-ème intrant du neurone wi,j Poids sur le lien entre le neurone i et le neurone j Wi Vecteur de poids associé au neurone i W Matrice de poids, associée à une couche. f(

I) Équations de droites ( on se place dans le plan muni d'un repère orthonormé) Définition : On appelle vecteur normal à une droite d tout vecteur ⃗ n ≠⃗ 0 orthogonal à un vecteur directeur de d. n . Corollaire : Soit d la droite passant par un point A et de vecteur normal ⃗ ⃗ Alors d est l'ensemble des points M tels que AM .⃗ n =0 n (a ; b) a une équation cartésienne de la forme a x + b y + c = 0. Propriété : Une droite d de vecteur normal ⃗ Réciproque : La droite d d'équation a x + b y + c = 0

Cours et exercices de mathématiques M.CUAZ , http://mathscyr.free.fr PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question 1 Soient A, B et C trois points distincts du plan. JJJG JJJG a) A, B et C sont alignés si et seulement si : AB ⋅ AC = AB × AC JJJG JJJG b) (AB) et (AC) sont orthogonales si et seulement si AB ⋅ AC = 0 JJJG JJJG c) A est le milieu de [BC] si et seulement si : AB ⋅ AC = − AB 2 Question 2 Soit ABC un triangle équilatéral de

Part I MA205: ‡ux, circulation... 0.1 Divergence, rotationnel... ! Exercice 1 Montrer que on a toujours:f étant un champ scalaire et V un champ vectoriel: ! ! div((Rot V ) = 0 ! ! ! Rot(Gradf ) = 0 ! div(Gradf ) = f= @2f @2f @2f + 2 + 2 2 @x @y @z ! Exercice 2 Soit le champ de vecteurs V (M ) = (x2 + y 2 ! ! ! ! ! (x2 z) k : calculer divV; (Rot V ; div(Rot V ) Exercice 3 Soit f : R3 ! R dé…nie par f (x) = x2 ! z) i + (2xy ! yz) j + x : + y2 + z2 ! ! ! calculer Gradf; Rot(Gradf) ; 0.2

Vecteurs et torseurs I. Rappels de quelques notions fondamentales. 1. Grandeurs physiques. Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité. Exemple : La température s’exprime en degré Kelvin (K). Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ avec norme de ⃗ , ‖ ⃗ ‖ et AB distance entre les points A et B. 2. Unités. Le système international est basé sur les 7 grandeurs

Bases hilbertiennes et polynômes orthogonaux Soutenu par :  Lahbiri Fatima Zahra  EL omari Ibrahim  Abrache Idris  Izem Younes Encadrée par :  Mr. Abdellah Oueld Guejdi Plan Biographie (David Hilbert) Rappel : Le produit scalaire et la norme Définitions de somme et base hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes

sur ]-1,1[. Pour f et g éléments de E, on pose f , g = ∫ 1 −1 dt. 5. a) Soit h une fonction positive de E, montrer que si ∫ 1 −1 h(t ) 1− t2 d t = 0 alors h est la fonction nulle. b) Montrer que , définit un produit scalaire sur E. Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E : pour tout élément h de E, on pose h 2 = h, h . 6. naturel n que la famille (T0 , T1 ,..., Tn ) est une base orthogonale (pour Calculer Tn , Tm selon les valeurs des

 x x      3 qui ` tout ´l´ment X =  y  de R3 associe X =  y  d´fini par     e Soit f l’endomorphisme de R a ee             z z  5x + 3y − 3z  x = y = − x − y + z  z = 5x + 3y − 3z On note C = (e1 ,e2 ,e3 ) la base canonique de R3 . 1. (a) Montrer que Ker(f ) est une droite vectorielle dont on donnera un vecteur directeur ayant sa troisi`me e coordonn´e ´gale ` 1. On notera u1 ce vecteur. e e a (b) Donner la dimension et une base de Im(f ). 2. (a) Montrer que {X ∈ R3

racine double z0 et on peut le factoriser comme suit : o P (z) = a(z − z0 )2 . Si ∆ < 0 et si a, b et c sont des nombres r´els, alors les racines z1 et z2 sont conjugu´es et la factorisation e e est alors : P (z) = a(z − z1 )(z − z1 ). c Somme et produit des racines : z1 + z2 = −b et z1 z2 = a . a 3.3 1. 2. 3. 4. 5. 6. Transformations ponctuelles du plan → translation de vecteur − , d’affixe a : z ′ = z + a. u Rotation de centre O et d’angle α : z ′ = zeiα . Rotation de centre z0 et d’angle