Produit scalaire canonique

et de matrice qui ont été introduites dans le cours de Maths 2. 1.1. Vecteurs, bases, parties libres. L’ensemble Rn est composé des éléments − → x = (x1 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n où les xi , 1 ≤ i ≤ n sont des nombres réels. Rn est donc le produit cartésien de n copies de l’ensemble R des nombres réels : Rn = → R × · · · × R . On appelle − x un vecteur et xi ∈ R est sa ième coordonnée. On munit n fois → l’ensemble Rn des opérations suivantes. Pour tous vecteurs − x = (x1 , . . . ,

corrigé Autour du produit Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE. Seules les matrices D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique. Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve : AB = 0 0 0 0 , 0 0 0 0 BA = . En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls. 2. Le produit AB n’est pas

est le vecteur de poids et le biais, alors que est la variable du problème. est l’espace d’entrée et qui correspond à , où est le nombre de composantes des vecteurs contenant les données. Notons que l’opérateur désigne le produit scalaire usuel dans sont les paramètres à estimer de la fonction de décision . Pour décider à quelle catégorie un exemple estimé appartient, il suffit de prendre le signe de la fonction de décision : . La fonction

septembre 2006 W. Bertram 2 1. Continuité dans les espaces métriques Chapitre 1 Continuité dans les espaces métriques L’espace euclidien est l’espace vectoriel Rn , muni de structures que l’on appelle métriques, comme la distance ou le produit scalaire. Si l’on retient seulement la notion de distance et on oublie tout le reste, on arrive à la définition d’un espace métrique : c’est un ensemble muni d’une application qui à un couple de points (x, y) associe leur distance d(x, y). Dans cette situation

. . . . . . . . . . . . 1 2 3 3 4 6 Dans tout ce chapitre, désigne l’ensemble des nombres réels ou des nombres complexes ; n et p désignent quant à eux deux entiers naturels non nuls. I – Définitions et vocabulaire Définition A.1 On appelle scalaire un élément de . Définition A.2 On appelle équation linéaire à p inconnues une équation de la forme a1 x 1 + a2 x 2 + . . . + a p x p = b où a1 , a2 , . . . , a p , b sont p + 1 éléments de donnés. • a1 , . . . , a p sont appelés coefficients de

principale. Programmes de mathématiques du second cycle- Seconde S - Année 2006 Contenus Commentaires IV) PRODUIT SCALAIRE. 1) Définition A, B et C sont trois points du plan, le produit scalaire de AB et AC est le réel noté AB. AC , tel que : si A=B, AB. AC = 0 si A ≠ B, AB.AC = ABxAH où H est le projeté orthogonal de C sur (AB). 2) Propriétés a) Carré scalaire b) Autre expression : AB.AC = AB × AC cos( AB, AC ) c) Règles de calcul U .V =V . U ( ) U.V + W = U

du second degré 1.4 Exponentielle complexe 1.5 Nombres complexes et géométrie plane Géométrie élémentaire du plan 2.1 Modes de repérage dans le plan 2.2 Produit scalaire 2.3 Déterminant 2.4 Droites 2.5 Cercles Géométrie élémentaire de l’espace 3.1 Modes de repérage dans l’espace 3.2 Produit scalaire 3.3 Produit vectoriel 3.4 Déterminant ou produit mixte 3.5 Droites et plans 3.6 Sphères 2 3 Chapitre 2 – Fonctions usuelles et équations différentielles linéaires 1 Fonctions usuelles 1.1 Fonctions

linéaire de V dans V telle que f (x) = y, f (e2 ) = e2 , . . . , f (en ) = en (f est définie par la donnée de l’image de la base B1 ). Alors f ∈ GL(V ) car f transforme la base B1 en la base B2 , et f (x) = y. Soit A la matrice de f dans la base canonique de V , alors on a Ax = y et A ∈ GLn (R). I.A.2) Montrons que GLn (C) vérifie P6 , c’est-à-dire que les seuls sous-espaces de V stables par tous les éléments de GLn (C) sont {0V } et V . Soit donc W un sous-espace de V stable par GLn (C), non

traités de manière équivalente. On appelle nuage (des individus), l'ensemble des lignes i considérées comme points de l'espace vectoriel Rp. On note que la coordonnée de l'individu i sur l'axe canonique j de Rp est la valeur xij prise par le caractère j pour cet individu; en ce sens les axes canoniques correspondent aux variables. Principes de l'ACP L'idée de l'ACP est de déterminer un nouveau repère de Rp associé de manière naturelle à la structure du nuage considéré, de façon à pouvoir

paire ? impaire ? c) Calculer Pn (1) et Pn (−1). 2. Soit n 1. Montrer que pour tout m ∈ N tel que 0 1 m n − 1, Pn (x) xm dx = 0 . −1 103 3. On désigne par E l’espace préhilbertien réel des fonctions continues sur [−1, 1] muni du produit scalaire 1 (u | v) = −1 u(x)v(x) dx , pour u, v ∈ E. a) La famille (Pn )n∈N est-elle une famille orthogonale dans E ? b) Calculer (Pn | Pn ) pour chaque n ∈ N. dPn d (x2 − 1) (x) est orthogonal à xm pour tout m ∈ N 4.a) Soit n 1. Montrer que